Дроби-обикновени и верижни

[krainik]

Обикновена дроб наричаме съотношение на две цели числа.Записано на математически език, тя е [tex]\frac{a}{b},b\ne0[/tex] зa[tex] a,b\in\mathbb{Z}[/tex], където с [tex]\mathbb{Z}[/tex] означаваме множеството на целите числа.[tex]a[/tex]-то от горния запис се нарича числител, а [tex]b[/tex]-то - знаменател на дробта. Между другото, [tex]\mathbb{Z}[/tex] е подмножество на [tex]\mathbb{Q}[/tex](множеството на рационалните числа/дроби), като всяко цяло число е дроб със знаменател 1 или -1. Основно дробите се делят на 2 вида: правилни и неправилни. Правилни са тези дроби, чиито знаменатели са по-големи техните числители, а неправителни са тези, при които е обратното, т.е знаменателите не са по-големи от техните числители, демек знаменателите са по-малки от числителите.Например дробта [tex]\frac{1}{2}[/tex] е правилна, [tex]\frac{3}{2}[/tex]-неправилна.Числото 1, което можем да преставим като дроб от вида [tex]\frac{a}{a}[/tex] за [tex]a\ne0[/tex] e неправилна дроб.Сега ще научим и някои от свойствата обикновените дроби.(навсякъде [tex]b,d\ne0[/tex])
1) Събиране: [tex]\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}[/tex].Тука разширихме първата дроб с [tex]d[/tex], а втората с [tex]b[/tex], т.е ги приведохме под общ знаменател.
2) Изваждане: [tex]\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}[/tex]
3)Умножение: [tex]\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{a.c}{b.d}[/tex]
4)Степенуване: [tex](\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}[/tex]

[Реклама]

[Пафнутий]

Кефиш .

[marshal]

Яко е, но определението

[krainik]

То няма кво да не те кефи. Това си е попринцип дефиницията за дроб.Не може 1 дефиниция да те кефи или не...

[krainik]

Крайни верижни дроби
Нека [tex]a,b\in\mathbb{Z}[/tex], като [tex]b>0[/tex].Освен това, нека алгоритъма на Евклид за тези 2 цели числа да образува редицата:
[tex]a=bq_{0}+r_{0}[/tex],
[tex]b=q_{1}r_{0}+r_{1}[/tex],
[tex]q_{1}=q_{2}r_{1}+r_{2}[/tex],
[tex]\vdots [/tex]
[tex]r_{k_{0}-2}=q_{k_{0}-1}.r_{k_{0}-1}+r_{k_{0}}[/tex],
[tex]r_{k_{0}-1}=q_{k_{0}}.r_{k_{0}}[/tex],
тогава имаме:
[tex]\frac{a}{b}=q_{0}+\frac{r_{0}}{b}=q_{0}+\frac{1}{\frac{b}{r_{0}}[/tex][tex]=\dots=q_{0}+\frac{1}{q_{1}+\frac{1}{q_{2}+\dots \frac{1}{q_{k_{0}-1}+\frac{1}{q_{k_{0}}}}[/tex]
Това ще наричаме представяне на дробта [tex]\frac{a}{b}[/tex] в крайна верижна дроб и ще записваме [tex]\frac{a}{b}=[q_{0};q_{1},\dots,q_{k_{0}}][/tex], като всички [tex]q_{i}[/tex] трябва да са естествени числа, с изключение на [tex]q_{0}[/tex], което трябва да е само цяло.Трябва да се отбележи, че това преставяне не винаги е единствено, защото при [tex]q_{k_{0}}>1[/tex] имаме [tex]q_{k_{0}}=(q_{k_{0}}-1)+1[/tex], т.е [tex][q_{0};q_{1},\dots,q_{k_{0}}]=[q_{0};,\dots,q_{k_{0}-1}-1,1][/tex]. Например [tex]\frac{21}{13}=1+\frac{8}{13}=1+\frac{1}{\frac{13}{8}}=1+\frac{1}{1+\frac{5}{8}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{3}{5}}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{2}{3}}}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}}}}}[/tex], тоест [tex][1;1,1,1,1,2]=[1;1,1,1,1,1,1][/tex]. Производни на горната верижна дроб са [tex]A_{0}=1,A_{1}=1+\frac{1}{1}=2,A_{2}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}=\frac{3}{2},A_{3}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}}=\frac{5}{3},A_{4}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}}}=\frac{8}{5},A_{5}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}}}}=\frac{13}{8},A_{6}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}}}}}=\frac{21}{13}[/tex], които образуват редица и удовлетворяват следните неравенства [tex]A_{0}<A_{2}<A_{4}<A_{6}<A_{5}<A_{3}<A_{1}[/tex]. Всъщност е вярно, че четните членове на всяка производна редица на крайна верижна дроб образуват растяща редица, а членовете с нечетен индекс - намаляваща.
ПП Очаквайте и лекция за безкрайни верижни дроби

[krainik]

Безкрайни верижни дроби
Разгледаните до сега верижни дроби бяха само крайни, но съществуват и безкрайни периодични дроби, чиито свойства са дори по-интересни от тези на крайните (лично мнение ;]). Безкрайните верижни дроби ще записваме както и крайните верижни дроби във вида [tex][a_{0};a_{1},a_{2},....]=a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\dots}}[/tex] с тази разлика, че броя на [tex]a_{i}[/tex]-тата не е краен. Освен това, [tex]a_{i}\in\mathbb{Z^{+}}[/tex] за [tex]\forall i\in\mathbb{N}[/tex], [tex]a_{0}\in\mathbb{Z}[/tex].
Пример: Да се намери това реално число [tex]\alpha[/tex], което се преставя във вида [tex][1;1,...][/tex] като безкрайна верижна дроб.
Решение: Имаме последователно [tex]\alpha=[1;1,1....]=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\dots}}=1+\frac{1}{\alpha}[/tex], т.е [tex]\alpha =1+\frac{1}{\alpha}[/tex] и решавайки го като квадратно уравнение, достигаме до [tex]\alpha=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}[/tex], но лесно се вижда, че [tex]\alpha>0[/tex], т.е [tex]\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex](това число да ви е познато? Да, точно така- това е т.нар златно сечение). Открихме, че [tex]\varphi =[1;1,1....][/tex] и това е само началото!
Сега, нека [tex]A=[a_{0};a_{1},a_{2},....][/tex] да бъде безкрайна верижна дроб( оттук нататък ще го съкращаваме на БВД). Тогава за всяко [tex]k\ge0[/tex] крайната верижна дроб(КВД) [tex]A_{k}=[a_{0};a_{1},...,a_{k}][/tex] ще наричаме [tex]k[/tex]-та производна на А.Например първите няколко производни на [tex]\varphi=[1;1,1,...1][/tex] са [tex]\varphi_{0}=\frac{1}{1}=1,\varphi_{1}=1+\frac{1}{1}=\frac{2}{1}, \varphi_{2}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}=\frac{3}{2},\varphi_{3}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}}=\frac{5}{3}[/tex]. По-наблюдателните сигурно вече са забелязали, че числители и знаменателите на тези КВГ са числа от редицата на Фибоначи. Доказва се, че всъщност [tex]\varphi_{n}=\frac{F_{n+1}}{F_{n}}[/tex], където [tex]F_{n}[/tex] е [tex]n[/tex]-тото число на Фибоначи. Оттук следва и красивият факт, че [tex]\varphi=\lim_{n\to\infty} \frac{F_{n+1}}{F_{n}}[/tex].Можем да дефинираме [tex]\lim_{n\to\infty}A_{n}=A=[a_{0};a_{1},a_{2},...][/tex] като ще приемем наготово, че тази граница съществува.Доказано е, но засега ще прескочим доказателството.

Теорема1:За дадена БПД [tex]A=[a_{0};a_{1},...][/tex], полагаме [tex]p_{0}=a_{0},q_{0}=1,p_{1}=a_{1}a_{0}+1,q_{1}=a_{1}[/tex], a за [tex]\forall n\ge2[/tex],
[tex]p_{n}=a_{n}p_{n-1}+p_{n-2}[/tex]
[tex]q_{n}=a_{n}q_{n-1}+q_{n-2}[/tex],
тогава за [tex]\forall n\ge0[/tex] е изпълнено [tex]A_{n}=\frac{p_{n}}{q_{n}}[/tex].
Доказателство:Очевидно за [tex]n=1,2,3[/tex] е изпълнено.Ще използваме индукция по [tex]n[/tex]. Нека за някое [tex]k\ge2[/tex] да е изпълнено [tex]A_{k}=\frac{p_{k}}{q_{k}}[/tex].Тогава имаме [tex]A_{k+1}=[a_{0};a_{1},....,a_{k+1}]=[a_{0},a_{1},...,a_{k}+\frac{1}{a_{k+1}}][/tex] и получаваме:
[tex]A_{k+1}=\frac{(a_{k}+\frac{1}{a_{k+1}})p_{k}+p_{k-1}}{(a_{k}+\frac{1}{a_{k+1}})q_{k}+q_{k-1}}[/tex]
[tex]=\frac{a_{k+1}(a_{k}p_{k-1}+p_{k-2})+p_{k-1}}{a_{k+1}.(a_{k}q_{k-1}+q_{k-2}+q_{k-1}}=[/tex]
[tex]=\frac{a_{k+1}p_{k}+p_{k-1}}{a_{k+1}q_{k}+q_{k-1}}=[/tex]
[tex]=\frac{p_{k+1}}{q_{k+1}}[/tex], с което твърдението е доказано.
Следствие1: Производните на [tex]A=[a_{0};a_{1},....][/tex] удовлетворяват:
[tex]i)[/tex]за [tex]\forall n\ge1[/tex],
[tex]p_{n}q_{n-1}-p_{n-1}q_{n}=(-1)^{n-1}[/tex] и оттам [tex]A_{n}-A_{n-1}=\frac{(-1)^{n-1}}{q_{n-1}q_{n}}[/tex]
[tex]ii)[/tex]за [tex]\forall n\ge2[/tex],
[tex]p_{n}q_{n-2}-p_{n-2}q_{n}=(-1)^n a_{n}[/tex] и оттам [tex]A_{n}-A_{n-2}=\frac{(-1)^n a_{n}}{q_{n-2}q_{n}}[/tex]
Доказателство: Отново ще използаваме индукция по [tex]n[/tex].Лесно се проверява, че за [tex]n=1,2[/tex] условията са удовлетворени.Нека те да са в сила и за някое [tex]k\ge2[/tex].Тогава [tex]p_{k+1}q_{k}-p_{k+1}q_{k}=(a_{k+1}p_{k}+p_{k-1})q_{k}-p_{k}(a_{k+1}q_{k}+q_{k-1})=(-1)(-1)^{k-1}=(-1)^k[/tex], с което [tex]i)[/tex] е доказано. Аналогично [tex]p_{k}q_{k-2}-p_{k-2}q_{k}=(a_{k}p_{k-1}+p_{k-2})q_{k-2}-p_{k-2}(a_{k}q_{k-1}+q_{k-2})=a_{k}(p_{k-1}q_{k-2}-p_{k-2}q_{k-1})=a_{k}(-1)^{k-2}=a_{k}(-1)^k[/tex], т.е и [tex]ii)[/tex] e в сила.
Директно следствие от Следствие 1 е:
Следствие 2:[tex]A_{2r}<A_{2r+2s}<A_{2r+2s-1}<A_{2s-1}[/tex] за [tex]\forall r,s\in \mathbb{Z}[/tex] и [tex]s>0[/tex].С други думи редицата [tex]\{A_{2n}\}[/tex] е растяща, а [tex]\{A_{2n-1}\}[/tex]- намаляваща.
(следва продължение)