Затворени кълба са затворени множества

[Hannibal]

Можете ли да ми помогнете с доказателството на следното твърдение:
Затворени кълба са затворени множества.

[Реклама]

[martin.nikolov]

[dgs]

Не е ли по-лесно да се "допусне противното" ?

Ще се опитам накратко да обясня какво имам предвид ... Но първо да уточним дали това което си мисля че се разбира под "затворено множество" е вярно ?
"Затворено множество" - съдържа (и) границите на всички редици с елементи от това множество.

Та допускаме противното - съществува редица с елементи от кълбото, чиято граница е извън кълбото.
1. Оттук следва, че разстоянието от тая граница до "контура" на кълбото е конкретно число по-голямо от нула (в условието е казано, че кълбото е "затворено")
2. Но понеже е граница, то трябва да съществуват елементи от редицата, които са "по-близко" до границата от това конкретно число.
3. А ако са по-близко, значи че са извън кълбото (а трябва да са вътре) - противоречие

Това 1.2.3. е "накратко".
А иначе трябва да се "пооблече" в по-приличен вид - да се напише уравнение на някакво затворено кълбо и т.н.
Например нещо такова (предполагам, че става въпрос за тримерно кълбо)
[tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}\le r^{2}[/tex] (уравнението на произволно затворено кълбо може да се канонизира до такъв вид ... ако не бъркам нещо)

После от допускането имаме някаква граница с координати
[tex](x_{1}, y_{1}, z_{1})[/tex], такива че
[tex]x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2} > r^{2}[/tex]
т.е. конкретното разстояние от границата до кълбото е
[tex]d = x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2} - r^{2} > 0[/tex]
а пък понеже е граница, от един момент нататък разстоянието на членовете на редицата до границата е по-малко от d., ... и т.н.