задача от матура

[anelia_ilieva]

търсих я досега във форума но не я открих а не ми се струва лесна и се съмнявам никой да не е питал за нея ▲ABC вписана окр. се допира до BC в т.D AD=DB BC=9 cos<ABC=2/3 AB=?

[Реклама]

[anelia_ilieva]

В окръжност с радиус R е вписан четириъгълник ABCD, като AB=2R. Да се докаже, че периметърът на четириъгълника е равен на 2R[1+cosα+cosβ-cos(α+β)], където и BAD=α,ABC=β
Ако α=β, да се намери α така, че периметърът да е най-голям.

[ivelinkaaa]

cos T за ▲ABD =>x=3y cos T за ▲ABC y=1 =>AB=4
за другата нямам идея

[alexandropolis]

Точката М е медицентърът на ΔАВС, а точката Р лежи върху страната АВ и
АР:РВ = 2:1. Отношението на лицата на триъгълниците АВС и ВМР е:
а)4/1 б)9/1 в)3/1 г)6/1

[ганка симеонова]

[ivelinkaaa]

отговорите ти не са верни 1/9 използвай че S▲ABM =1/3S▲ABC

[ганка симеонова]

[ганка симеонова]

[Tinna]

Щом АВ=2R, то АВ е диаметър на окръжността и[tex]\angle [/tex]АСB=[tex]\angle [/tex]АDB=90°
[tex]\Delta [/tex]ACB: BC=ABcosβ
BC=2Rcosβ
[tex]\Delta [/tex]ADB:AD=ABcosα
AD=2Rcosα
[tex]\angle [/tex]BAC=90°-β=>[tex]\angle [/tex]DAC=α-(90°-β)
[tex]\angle [/tex]DAC=α+β-90°
Синусова теорема за [tex]\Delta [/tex]ADC: DC=2Rsin(α+β-90°)
DC=-2Rcos(α+β)
Изразяваме периметъра на ABCD и получаваме P=2R(1+ cosα+cosβ-cos(α+β))
При α=β: Р=2R(1+ 2cosα-cos2α)
Р=2R(1+ 2cosα-2cos²α+1)
Р=2R( -2cos²α+2cosα+2)=4R( -cos²α+cosα+1),
α[tex]\in [/tex](0°;90°)
пол. х=cosα и разглеждаме функцията f(x)=-x²+x+1, x[tex]\in [/tex](0;1)
Чрез производна или намиране на НГС на кв. ф-я в интервал, определяме,че Maxf(x)=f([tex]\frac{1}{2 }[/tex])=[tex]\frac{5}{ 4} [/tex]
MaxP=5R исе достига при cosα=[tex]\frac{1}{ 2}[/tex]=>α=60°

[Zlatinster]

защо AB=4/3x?

[Tinna]

Зад. за вписаната окръжност.
Означаваме Р- допирната точка на окр. с АВ,Q- допирната точка на окр. с АС.
АР=АQ=у; ВР=ВД=х=>АД=х; СД=СQ=9-х
В [tex]\Delta [/tex]АВД: [tex]\angle [/tex]ВАД=[tex]\angle [/tex]АВД=β,[tex]\angle [/tex]АДВ=180°-2β
Синусова теорема за този триъгълник води до х=3у
АВ=4у; АС=9-х+у=9-2у
Косинусова теорема за [tex]\Delta [/tex]АВС и намираме у.

[Zlatinster]

да най-сетне ми стана задачата мерси