Редове - имам нужда от разяснение по решена задача

[sashe_to]

Здравейте,

Задачата => http://prikachi.com/files/837500e.jpg


Защо при записването на u_n като сума от елементарни дроби, определяме че А=1/2; B=-1/2 (за пример 1) и A=1; B=-1; C=1; D=-1 (за пример 2)?

[Реклама]

[Tinna]

Коефициентите се намират по метода не неопределените коефициенти.
Освобождаваме от знаменател и подреждаме двете страни на равенството по степените на n. След това приравняме съответните коефициенти и съставяме система за тях.
Пр1. Достига се до: 1=(А+В)n+2A
и правим системата:
А+В=0
2А=1, откъдето намираме А=1/2 и В=-1/2
За пр. се постъпва аналогично.
Ганка Симеонова писа преди време по тази тема. Потърси в сайта- доста изчерпателно бе обяснила всичко.

[gdimkov]

При разлагането в примера действията са правилни, но използваните изрази не са точни. Второто равенство трябвада бъде тъждество. Т.Е. двата израза трябва да взимат едни и същи стойности при всяка стойност на променливата (в случая n). Като приведем дясната страна под общ знаменател, имаме тъждество между два дробни израза с равни знаменатели. Тогава те ще бъдат тъждествено равни, ако числителите са тъждествено равни. Това са два полинома. (Единият е тъждествено равен на 1.) Два полинома са тъждествено равни тогава и само тогава, когато коефициентите пред равните степени на променливата са равни. След това дълго обяснение процедурата е ясна и понякога много кратка. Успех!

[sashe_to]

Благодаря и на двама Ви. Сега мога и да го прилагам и за другите задачи

[Б.А.]

За да не пускам нова тема ще ползвам тази.Въпросът ми е свързан с функционалните редове. И по-точно не ми е ясно как се намира сумата и областта на сходимост на един такъв ред.Четох из разни дебели книги, но не можах да схвана идеята.Ако някой има желание, нека разясни или даде някакви материали.

Пример:

[gdimkov]

Ако става дума за действителен функционален ред, работата е "дебела". В случая обаче имаме възможно най-простия функционален ред - степенен ред. Интервалът (областта) на сходимост на един степенен ред се дава с формулата:

[tex]\frac {1}{R}=\limsup _{n\to \infty }\,\sqrt[n]{|a_n|} [/tex].

Редицата [tex]\sqrt[n]{|a_n|} [/tex] може да има повече от една точка на сгъстяване. Не е необходимо да е сходяща. Този символ означава, че трябва да вземем най-голямата точка на сгъстяване. Може да е безкрайност. Редът е сходящ в интервала (-R, R). За сходимостта в краищата на интнервала трябва да се направят допълнителни изследвания. Няма да правя пресмятанията. Те са прости - с правило на Лопитал. Вторият въпрос е да се намери сумата на реда.
Степенният ред е абсолютно сходящ в интервала на сходимост, следователно може да се интегрира почленно. Нека

[tex]f(x)=\sum_{n=1}^{\infty } n(n+1)x^{n-1}[/tex]

[tex]g(x)=\int_{}^{ } f(x)dx =\sum_{n=1}^{\infty } (n+1)x^{n}[/tex]

[tex]h(x)=\int_{}^{ } g(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty } x^{n+1}=\frac {x^2}{1-x}[/tex]

[tex]f(x)=h"(x)=\frac {2}{(1-x)^3}[/tex]

[Б.А.]

За радиуса и областта на сходимост си припомних от степенните редове, но точна тая сума не ми е много ясно как се получава. Има ли някакво правило, според което се извършва интегриране и диференциране на n-я член? Може ли малко по-подробно решение на интегралите g(x) и h(x) понеже малко ме объркват тия "n" и не ми става ясно как се получава сумата след тях.

[gdimkov]

[tex]f(x)=\sum_{n=1}^{\infty } n(n+1)x^{n-1}[/tex]
Редът е абсолютно сходящ в (-1, 1) и може да се диференцира почленно. Новият ред е отново абсолютно сходящ в същия интервал. Почленното интегриране може да се докаже с допускане на противното.
За общия член имаме
[tex]n(n+1)x^{n-1}[/tex], откъдето [tex]n(n+1)\int_{}^{ } x^{n-1}=(n+1)x^n[/tex].
Мисля, че нататък е ясно.

В заключение искам да поясня още нещо. Получената функция е дефинирана за всяко х различно от 1. Но това представяне със степенен ред е валидно само в интервала (-1, 1). Развитие в ред около точката х=3 вероятно ще има радиус на сходимост 2. (Само предположение.) Какво става при х=-1? Там функцията е дефинирана, но редът е разходящ защото общият член на получения числов ред не клони към нула. А това е необходимо услоие за сходимост на един числов ред.

[Б.А.]

Ясно...и един последен въпрос.Как се получава дробта след сумата:
[tex]\sum_{n=1}^{\infty } x^{n+1}=\frac {x^2}{1-x}[/tex]

[Grands]

Сума на безкрайно малка геометрична прогресия.