Ъгъл BKM=?

[ганка симеонова]

Даден е [tex]\Delta ABC [/tex]. Върху лъча BA е взета точка D, такава че [tex]BD=BA+AC [/tex] Точките К и М, съответно от лъчите ВА и ВС, са такива, че лицата на триъгълниците BDM и BCK са равни. Да се намери [tex]\angle BKM[/tex], ако [tex]\angle BAC=\alpha [/tex]

[Реклама]

[_sssss]

[tex]\normal S_{BDM}=S_{BKC} \\ MB(b+c)sin(180-B)=aKBsinB \\ \; \\\frac{MB}{KB}=\frac{a}{b+c}\\ \; \\ \angle BKM=x \\ sinT \; \small \Delta \large KBM \; \Rightarrow \; \frac{MB}{sinx}=\frac{KB}{sin(180^\circ - x - B)} \\ sinx=\frac{a}{b+c}sin(x+B) \\ sinB=\frac{b}{a}sin\alpha \\ cosB=\frac{b^2 - a^2 - c^2}{-2ac}\\ sinx=\frac{a}{b+c}(sinx cosB + cosx sinB)\\ sinx(1-\frac{a}{b+c}cosB)=cosx sinB[/tex]

[tex]\normal sinx>0 \Rightarrow sinx=\sqrt{1-cos^2 x}[/tex]

[tex]\normal cos^2 x (sin^2 B + (1 -\frac{a}{b+c}cosB)^2)=(1-\frac{a}{b+c}cosB)^2[/tex]

Успявам да го преобразувам дотук:

[tex]\normal cosx = \pm \{\frac{(b+c)sin^2 \alpha}{2a^2 c(cos\alpha + 1)^2} + 1\}^{-\frac{1}{2}}[/tex]

Ужас!

[ганка симеонова]

Сепен, имам грешка в условието. Първоначалният лъч е ВА. Извинявам се, сега ще го променя. Прилагам и чертеж.

[inimitably]

Без да съм разписвал задачата се вижда от чертежа на Ганка, че [tex]CD // KM[/tex] , но [tex]AD=AC[/tex]
[tex] \rightarrow[/tex] [tex]\angle ADC=\angle MKD= \frac{\angle BAC}{2 } [/tex]

[_sssss]

Нали нямаш нищо против да напиша защо са ||, за да е по-ясно?

[tex]S_{BDM}=S_{BCD}+S_{CDM} \\ S_{BCK}=S_{BCD}+S_{KDC} \\ S_{CDM}=S_{CDK} \; \Rightarrow \; 0.5 h_1 CD = 0.5 h_2 CD \\ h_1=h_2 \Rightarrow CD||KM \\ \angle BKM=\frac{\alpha}{2}[/tex]

[ганка симеонова]

И двамата се допълнихте чудесно

[ганка симеонова]

[_sssss]

Защото точките K и M се намират на равни разстояния от CD; => през тях минава права, успоредна на CD. Нали така?

[ганка симеонова]

даааа, съгласих се.