Задача по геометрия

[Pinetop Smith]

Даден е равнобедрен трапец ABCD(AB || CD, AB > CD). Петите на перпендикулярите от D към АВ и АС са съответно M и N, а средата на CD е Р. Да се докаже, че ако M, N и Р лежат на 1 права, то <АСВ = 90.

[Реклама]

[mousehack]

Тъй като трапеца е равнобедрен се знае,че [tex]\angle BAD=\angle ABC=\alpha [/tex] и също,че [tex]\angle BAC=\angle ABD=\angle ACD=\angle BDC=\beta [/tex]
За [tex]\Delta AMD => \alpha +\angle ADM=90^\circ [/tex]
Ще докажа,че [tex] \angle ADM=\beta [/tex]
1. AMND e вписан - [tex]\angle AMD=\angle AND=90^\circ [/tex] => [tex] \angle ADM=\angle ANM=\angle PNC[/tex] , тъй като M,N и P лежат на една права по условие.
2. За [tex]\angle DNC [/tex] , NP e медина към хипотенузата,следователно NP=PC.
Тогава [tex] \angle ADM=\beta [/tex]
=> [tex]\alpha +\beta =90^\circ [/tex]
Тогава [tex]\angle ACB=90^\circ [/tex]