равнобедрен триъгълник

[mi6ella]

Даден е равнобедрен триъгълник АВС с медиана ВМ(М принадлежи на АС) и ъглополовяща АL(L принадлежи на ВС) и АL пресича ВМ=Р.Ако ВР=3 и РМ=2.Изчислете лицето на ▲АВС. Моля само за упътване

[Реклама]

[Spider Iovkov]

От свойството на ъглополовящата в [tex]\triangle ABM[/tex] имаме [tex]\frac{AB}{AM}=\frac{PB}{PM}=\frac{3}{2}[/tex]. Тогава [tex]AB=3x[/tex] и [tex]AM=2x \Rightarrow AC=BC=4x[/tex]. Сега, тъй като [tex]BM[/tex] е медиана, то от уравнението за медиана получаваме [tex]x=5\sqrt{\frac{2}{17}}[/tex]. Тогава [tex]AB=3x=15\sqrt{\frac{2}{17}}[/tex] и [tex]AM=2x=10\sqrt{\frac{2}{17}}[/tex]. От косинусовата теорема за [tex]\triangle ABM[/tex] пресмятаме [tex]cos\alpha=\frac{3}{8} \Rightarrow sin\alpha=\frac{\sqrt{55}}{8}[/tex], където [tex]\alpha[/tex] е ъгълът при основата на равнобедрения триъгълник. Тогава [tex]S_{\triangle ABC}=\frac{AC.AB}{2} sin\alpha \Leftrightarrow S_{\triangle ABC}=\frac{75\sqrt{55}}{34}[/tex].