PQ // MH

[inimitably]

Нека [tex]H[/tex] и [tex]O[/tex] са съответно ортоцентърът и центърът на описаната окръжност на неравнобедрен остроъгълен [tex]\Delta ABC[/tex].Нека [tex]M[/tex] е средата на [tex]AB[/tex] , [tex]CH\cap AB=C_{1}[/tex] , [tex]AH\cap BC=A_{1}[/tex] , [tex]BH\cap AC=B_{1}[/tex] , [tex]CO\cap AB=P[/tex] и [tex]CH\cap A_{1}B_{1}=Q[/tex]. Докажете, че [tex]PQ//HM[/tex].
ПП Задачата е подходяща за кандидат-студенти.

[Реклама]

[ганка симеонова]

Ще ползвам доказателството ти от http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?p=58265&highlight=#58265

[tex]\angle PFQ=\angle PC_1Q=90^\circ =>PC_1QF- [/tex]вписан четириъгълник, центърът на описаната окръжност около когото лежи на [tex]PQ[/tex]. Пресечната точка на диагоналите също лежи на [tex]PQ[/tex]=>ползвайки доказаното от теб=>
[tex]PQ\bot CT; MH\bot CT=>PQ//MH [/tex]

[inimitably]

Нека [tex]CO[/tex] пресича [tex]A_{1}B_{1}[/tex] и описаната окръжност около [tex]\Delta ABC[/tex] съответно в точките [tex]Z[/tex] и [tex]M'[/tex] . Не е трудно да се докаже , че [tex]H[/tex] , [tex]M[/tex] и [tex]M'[/tex] лежат на една права.

[tex]\angle ZPQ=\angle ZC_{1}Q[/tex] (защо?) ; [tex]\frac{CH}{CM'} = \frac{CZ}{CC_{1}}=cos\angle C[/tex] (защо?) [tex]\rightarrow[/tex] [tex]\angle ZPQ=\angle ZC_{1}Q=\angle ZM'H[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] [tex]HM'//HM//PQ[/tex]