Регистрирайте сеРегистрирайте се

3 допирателни


 
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Mon May 11, 2009 4:21 pm    Заглавие: 3 допирателни

[tex]f(x)=x^3-3x^2+3[/tex]
За кои точки от правата y=-1 могат да се построят три допирателни към графиката на f(x)?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Mon May 11, 2009 5:14 pm    Заглавие: Re: 3 допирателни

r2d2 написа:
[tex]f(x)=x^3-3x^2+3[/tex]
За кои точки от правата y=-1 могат да се построят три допирателни към графиката на f(x)?


Май условието не е коректно, или не го рабирам. Но няма точки, дори в цялата равнина не само от правата, от които да има три допирателни към графиката. Две може, но не и три.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Mon May 11, 2009 8:18 pm    Заглавие:

Tърсят се точки М от правата y=-1, през които могат да се построят три допирателни към графиката на f(x).

Martin.nikolov казва, че такива няма! Това, според мен не е така!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Mon May 11, 2009 8:25 pm    Заглавие:

r2d2 написа:
Tърсят се точки М от правата y=-1, през които могат да се построят три допирателни към графиката на f(x).

Martin.nikolov казва, че такива няма! Това, според мен не е така!


Значи правилно съм разбрал условието. Сега ще го мисля пак да видя къде съм сбъркал.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Mon May 11, 2009 8:35 pm    Заглавие:

Да, прав си може. Сбъркал съм една трета степен с втора и си мислех, че може да има най-много две.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Tue May 12, 2009 12:08 am    Заглавие:

Самата права y=-1 е допирателна в т. x=2;
Търсим точки M(x;-1), през които минават други 2 допирателни към f(x).
[tex]\normal f'(x_1)(x-x_1) + f(x_1)[/tex]
[tex]\normal f'(x_2)(x-x_2) + f(x_2)[/tex]
[tex]\normal x_1 \ne x_2 \ne 2[/tex]

Трябва да са =-1 за една и съща стойност на x.

[tex]\normal xf'(x_1) - x_1 f'(x_1) + f(x_1)=-1 \\ x=\frac{x_1 f'(x_1) -1 - f(x_1)}{f'(x_1)}[/tex]

[tex]\normal xf'(x_2) - x_2 f'(x_2) + f(x_2)=-1 \\ x=\frac{x_2 f'(x_2) -1 - f(x_2)}{f'(x_2)}[/tex]

[tex]\normal \frac{x_1 f'(x_1) -1 - f(x_1)}{f'(x_1)}=\frac{x_2 f'(x_2) -1 - f(x_2)}{f'(x_2)}[/tex]

Идеята ми е да изразя [tex]\normal x_1 = g(x_2)[/tex], после [tex]\normal M(x(\small g(x_2)\normal); -1)[/tex].

Има ли нещо вярно?

И този път не извадих късмет.
-----------------------------------------------------------
@martin.nikolov, ще пуснеш ли решението си?


Последната промяна е направена от _sssss на Tue May 12, 2009 12:23 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Tue May 12, 2009 1:09 am    Заглавие:

seppen написа:

Има ли нещо вярно?


Условието е такова, че се търсят точки през които минават и трите допирателни.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Tue May 12, 2009 1:12 am    Заглавие:

Ако не съм сбъркал в сметките, а е много вероятно да съм, получавам следното. Точките са с координати [tex] (x,-1)[/tex]. Където [tex]x[/tex] е такова, че [tex] x\in \left(-\infty, -1\right)\cup\left(\frac53,\infty\right)[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Tue May 12, 2009 9:33 am    Заглавие:

Имаш малка грешка!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Tue May 12, 2009 5:17 pm    Заглавие:

r2d2 написа:
Имаш малка грешка!


Много е вероятно но ме мързи да смятам пак. Това което виждам, е че съм пропуснал да напиша, че [tex]x\not =2[/tex]. Но има и голяма вероятност да имам грешки в сметките.

Идеята беше следната. Взимаме пройзволна точка от правата [tex] (a,-1)[/tex]. Пишем уравнението на произволна права през тази точка [tex]y=k(x-a)-1[/tex]. За да е допирателна към графиката, то трябва правата и фунцията да се пресичат с кратност поне 2. Приравняваме ги и получаваме уравнение което трябва да има кратен корен. От тук се получава уравнение за [tex]k[/tex] и [tex]a[/tex]. И въпроса е за кои стойности на [tex]a[/tex] уравннието има три ралични корена. Един от тях е 0, така че то е всъщонст квадратно и е лесно.

Интересно ми е дали има друг по-кратък и хитър начин, този ми се струва твърде дълъг и с много сметки.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Wed May 13, 2009 7:21 pm    Заглавие:

Нека M(u,u^3-3u^2+3) е от графиката на ф-ята, а A(a;-1).

Уравнението на допирателната през М е: [tex]l_M:\; y-(u^3-3u^2+3)=(3u^2-6u)(x-u)[/tex]
или [tex]l_M:\;y=(3u^2-6u)x-2u^3+3u^2+2[/tex].
[tex]l_M[/tex] минава през А, т.е. [tex]-1=(3u^2-6u)a-2u^3+3u^2+2 \Rightarrow 2u^3-3u^2-4=3u(u-2)a[/tex]

Ако u=2 виждаме, че всяко а е решение, т.е. правата y=-1 e допирателна в точката М(2;-1) (голямо откритие) Razz .

Иначе делим на u-2 и получаваме[tex] 2u^2-(3u-1)a+2=0[/tex]. Това квадратно у-ние трябва да има два различни корена и никой от тях да не е 2.

2 е корен за а=2.

Иначе [tex]D=(3u-1)^2-3^2=(3u+3)(3u-5)>0[/tex].

Окончателно: а<-1 или а>5/3 (без а=2).
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.