правоъгълник и вписан в него равностранен триъгълник

[dank9449]

Точката М лежи на страната ВС, а точката N на страната СD на правоъгълника АВСD.Ако триъгълникът АМN е равностранен, а М₁ и N₁ са средите съответно на АМ и АN, да се докаже, че триъгълниците ВСN и СDМ са също равностранни.

[Реклама]

[r2d2]

Нека х е страната на АMN, [tex]AB=a,AD=b,\angle MAB=\mu.[/tex]

Tогава:[tex] x=\frac{a}{\cos \mu} \; b=x\cos (30-\mu) \Rightarrow \frac{\cos(30 -\mu)}{\cos \mu)}=\frac{b}{a} \Rightarrow \frac{\cos 30\cos \mu+\sin 30\sin \mu}{\cos \mu}=\frac{b}{a}[/tex], като заместим и oпростим намираме [tex]\tan \mu =\frac{2b-a\sqrt{3}}{a}[/tex].

Понеже [tex]\tan \mu=\frac{MB}{AB} \Rightarrow MB=2b-a\sqrt{3} \Rightarrow N_1S=b-\frac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow KN_1=\frac{a\sqrt{3}}{2}.[/tex] Ясно е, че DN1C e равностранен.

Доказаната теорема дава изящен начин за построяването на вписания равностранен триъгълник! Построяваме синия и червения и т.н. Такъв триъгълник има ако[tex] MB=2b-a\sqrt{3} \ge 0[/tex] и[tex] DN=2a-b\sqrt{3} \ge 0.[/tex]

За страната на триъгълника намираме [tex]x^2=4(a^2-ab\sqrt{3}+b^2)[/tex], като изразим косинуса чрез тангенса!