точки и дъги

[dank9449]

Tочките А, В , С и D в този ред лежат на окръжност с център О и дъгата АВ=дъгата СD=60 градуса. Да се докаже, че средите на ОА, ОD и ВС са върхове на равностранен триъгълник.

[Реклама]

[Pinetop Smith]

OA, BC, OD - среди съответно M, N, P. Ясно е, че <CNO = <CPO = 90(медиана към основа в равнобедрен тр.) => ONCP - вписан => <ONP = <OCN = 30. Аналогично <MNO = 30. Не е трудно да се види, че триъгълниците MON и PON са еднакви(MO = PO, NO - обща, <MON = <PON), откъдето следва, че MN = PN и всичко е ок.

По-интересна задача: Ако за вписания шестоъгълник ABCDEF дъгите АВ, CD и EF са равни на 60 гр., да се докаже, че средите на BC, DE, FA са върхове на равностранен триъгълник!