Аритметична прогресия с 2^m + 3^n(трудна)

[Pinetop Smith]

Съществува ли аритметична прогресия, състояща се от 40 члена, всеки от които може да се представи във вида [tex]2^m + 3^n[/tex] за [tex]m, n \in N_0[/tex]?

[Реклама]

[soldier_vl]

Предполагам с условие d≠0

[Baronov]

Това 40 не е толкова много, колкото изглежда. Аз доказах, че няма такава прогресия с дължина числото на Ван-дер Варден W(3, 4) ( по-надолу ще стане дума какво точно е това число). За съжаление, обаче това е > 292. С по прецизни разсъждение би трябвало да може да се смени с W(3, 3), което е 27.
Идеята е да оцветим числата от прогресията в три цвята. Числата са сума на степен на 2 и степен на 3. Единият цвят се състои от числата за които числото степен на 3 е по-голямо от числото степен на 2. Числата за които степента на 2 е по-голяма оцветяваме в зависимост от четността на показателя на тази степен.
Ако имаме достатъчно дълга прогресия (> W(3, 4)) това ни гарантира, че в някои от цветовете има 4-членна аритметична прогресия. Може да считаме, че това е първия цвят. Тоест степента на 3 е по-голяма от степента на 2. В другите случаи резултатите по-долу се подобряват, тъй като всъщност имаме степени на 4. Проблемите идват от равните степенни показатели на 3-ката. Да отбележим, че по-голям степенен показател, означава по-голямо число(за първия цвят). Твърдението директно следва от следните 2 леми (ако имаме 4-членна прогресия).
Лема 1. Нека [tex] 3^n + 2^k [/tex] и [tex]3^m + 2^l[/tex] са две числа от първия цвят и n > m. Тогава разликата между двете числа е по-голяма от [tex]3^{n-1}[/tex].
Лема 2. Нека [tex] 3^n + 2^k [/tex] и [tex]3^n + 2^l[/tex] са две числа от първия цвят. Тогава разликата между двете числа е по-малка от [tex]3^{n}[/tex].
Двете леми се доказват лесно. Като ги приложим за 4- членната прогресия, която имаме, и всички възможни случаи за равенство между експонентите получаваме търсеното противоречие.
Ако използваме само 3-членна прогресия, получаваме, че двете големи числа имат равни експоненти, а третото по-малка. Трябва да се прецизира по някакъв начин за да стане за 40.

[krainik]

Понеже видях, че Баронов питаше Никито за решения- тази задача е давана на China TST 2009 като 6-та задача.