Регистрирайте сеРегистрирайте се

Аритметична прогресия с 2^m + 3^n(трудна)


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Sat May 09, 2009 8:43 pm    Заглавие: Аритметична прогресия с 2^m + 3^n(трудна)

Съществува ли аритметична прогресия, състояща се от 40 члена, всеки от които може да се представи във вида [tex]2^m + 3^n[/tex] за [tex]m, n \in N_0[/tex]?

Последната промяна е направена от Pinetop Smith на Tue May 12, 2009 7:34 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
soldier_vl
VIP


Регистриран на: 09 Jul 2007
Мнения: 1151
Местожителство: София
Репутация: 99Репутация: 99
гласове: 22

МнениеПуснато на: Sat May 09, 2009 10:00 pm    Заглавие:

Предполагам с условие d≠0
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Baronov
Напреднал


Регистриран на: 05 Jun 2008
Мнения: 316

Репутация: 55.4
гласове: 39

МнениеПуснато на: Thu May 14, 2009 1:45 pm    Заглавие:

Това 40 не е толкова много, колкото изглежда. Аз доказах, че няма такава прогресия с дължина числото на Ван-дер Варден W(3, 4) ( по-надолу ще стане дума какво точно е това число). За съжаление, обаче това е > 292. С по прецизни разсъждение би трябвало да може да се смени с W(3, 3), което е 27.
Идеята е да оцветим числата от прогресията в три цвята. Числата са сума на степен на 2 и степен на 3. Единият цвят се състои от числата за които числото степен на 3 е по-голямо от числото степен на 2. Числата за които степента на 2 е по-голяма оцветяваме в зависимост от четността на показателя на тази степен.
Ако имаме достатъчно дълга прогресия (> W(3, 4)) това ни гарантира, че в някои от цветовете има 4-членна аритметична прогресия. Може да считаме, че това е първия цвят. Тоест степента на 3 е по-голяма от степента на 2. В другите случаи резултатите по-долу се подобряват, тъй като всъщност имаме степени на 4. Проблемите идват от равните степенни показатели на 3-ката. Да отбележим, че по-голям степенен показател, означава по-голямо число(за първия цвят). Твърдението директно следва от следните 2 леми (ако имаме 4-членна прогресия).
Лема 1. Нека [tex] 3^n + 2^k [/tex] и [tex]3^m + 2^l[/tex] са две числа от първия цвят и n > m. Тогава разликата между двете числа е по-голяма от [tex]3^{n-1}[/tex].
Лема 2. Нека [tex] 3^n + 2^k [/tex] и [tex]3^n + 2^l[/tex] са две числа от първия цвят. Тогава разликата между двете числа е по-малка от [tex]3^{n}[/tex].
Двете леми се доказват лесно. Като ги приложим за 4- членната прогресия, която имаме, и всички възможни случаи за равенство между експонентите получаваме търсеното противоречие.
Ако използваме само 3-членна прогресия, получаваме, че двете големи числа имат равни експоненти, а третото по-малка. Трябва да се прецизира по някакъв начин за да стане за 40.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Fri May 15, 2009 8:22 pm    Заглавие:

Понеже видях, че Баронов питаше Никито за решения- тази задача е давана на China TST 2009 като 6-та задача.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.