Коварно тригонометрично у-ние

[Петров]

[tex]\sqrt{1+cos6x} [/tex].sin[tex]\frac{3x}{2} [/tex]=2[tex]\sqrt{2} [/tex]cos[tex]\frac{2\pi }{3 [/tex]} ,aко x[tex]\in [/tex][-[tex]\frac{\pi }{3}[/tex];0]

[Реклама]

[FuckYouAll]

Не е много трудна...
ДС: [tex]cos6x[/tex] > [tex]-1[/tex]
[tex]\sqrt{1+cos6x} [/tex].sin[tex]\frac{3x}{2}[/tex]=[tex]2\sqrt{2}[/tex].([tex]-\frac{1}{2 }[/tex])
[tex]\sqrt{\cancel sin^2 3x+cos^2 3x+cos^2 3x-\cancel sin^2 3x}[/tex].sin[tex]\frac{3x}{2}[/tex]=[tex]-\sqrt{2}[/tex]
[tex]\sqrt{\cancel 2}[/tex]cos3x.sin[tex]\frac{3x}{2} [/tex]=[tex]-\sqrt{\cancel 2}[/tex]
cos3x.[tex](-\sqrt{\frac{1-cos3x}{2}}) [/tex]=-1
полагаме cos3x=u

u[tex]\sqrt{\frac{1-u}{2}}[/tex] =1 |[tex]^2[/tex]
[tex]u^2[/tex]([tex]\frac{1-u}{2}[/tex])=1
[tex]u^2[/tex]-[tex]u^3[/tex]=2
=>u=[tex]-1[/tex]
=>cos3x=-1
=>3x=[tex]\pi[/tex] + [tex]2k\pi[/tex]
x=[tex]\frac{\pi }{3 }[/tex]+[tex]\frac{2k\pi }{3 }[/tex]
при [tex]k=-1[/tex] x=[tex]\frac{\pi }{3 }[/tex] [tex]-\frac{2\pi }{3 }[/tex] =[tex]-\frac{\pi }{3 }[/tex] ,което принадлежи на интервала

...но сигурно има и по-лесен начин...някой ако се сеща, да допълни.

[mkmarinov]

[tex]\sqrt{1+cos6x}=\sqrt{1+2cos^23x-1}=\sqrt{2}|cos3x|[/tex]
[tex]\sqrt{2}|cos3x|.sin(\frac{3x}{2})=-\sqrt{2}[/tex]
[tex]|cos3x|.sin(\frac{3x}{2})=-1[/tex]
Т.к. множителите отляво са <= 1 по модул и |cos3x|>0, то уравнението е еквивалентно на системата
[tex]|cos3x=\pm 1;[/tex]
[tex]|sin(\frac{3x}{2})=-1[/tex]
Пак използваме, че cos2x=1-2sin^2x:
[tex]1-2sin^2(\frac{3x}{2})=\pm 1[/tex]
[tex]1+2=\pm 1[/tex] - невярно => уравнението няма решения.

[Tinna]