Тригонометрично неравенство

[M_Velinova]

Погледнах, че почти отсъстват тригонометрични неравенства във форума.

И затова: Решете неравенството:

sinx*sin(3*x)>sin(5*x)*sin(7*x)

Vel

[Реклама]

[Tony_89]

sin(x)*sin(3*x) > sin(5*x)*sin(7*x)
(1/2)*(cos(3*x - x) - cos(3*x + x)) > (1/2)*(cos(7*x - 5*x) - cos(7*x + 5*x))
cos(2*x) - cos(4*x) > cos(2*x) - cos(12*x)
cos(4*x) - cos(12*x) < 0
cos(4*x) - 4*cos(4*x)³ + 3*cos(4*x) < 0
4*cos(4*x) - 4*cos(4*x)³ < 0
cos(4*x) - cos(4*x)³ < 0
Нека cos(4*x) = u E [-1;1]
u - u³ < 0
u*(1 - u²) < 0
u*(1 - u)*(1 + u) < 0
|u E (-1;0) U (1;+∞)
|u E [-1;1] =>
=> u E (-1;0)
cos(4*x) E (-1;0)
4*x E (п/2 + 2*k*п ; п + 2*k*п) U (п + 2*k*п ; 3*п/2 + 2*k*п) k E Z
x E (п/8 + k*п/2 ; п/4 + k*п/2) U (п/4 + k*п/2 ; 3*п/8 + k*п/2)

[M_Velinova]

Браво Tony, решението е съвършено вярно. Това е от лесните, нали?

[Tony_89]

Да, давай още че си прав, че повече в темата сме наблегнали на тъждества и уравнения.

[M_Velinova]

Ето още едно засега, че трябва да тръгвам.

(1-4*(sinx)^2)/(cos(2*x)+cosx)<=2

[Tony_89]

1 - 4*sin(x)² = 4 - 4*sin(x)² - 3 =
= 4*(1 - sin(x)²) - 3 = 4*cos(x)² - 3

cos(2*x) + cos(x) = 2*cos(x)² + cos(x) - 1

(4*cos(x)² - 3)/(2*cos(x)² + cos(x) - 1) ≤ 2

Нека cos(x) = u E [-1;1]

(4*u² - 3)/(2*u² + u - 1) ≤ 2
(4*u² - 3)/(2*u² + u - 1) - 2 ≤ 0
(4*u² - 3 - 2*(2*u² + u - 1))/(2*u² + u - 1) ≤ 0
(-2*u - 1)/(2*u² + u - 1) ≤ 0

2*u² + u - 1 = 0
u₁ = -1
u₂ = 1/2

-2*u - 1 = 0
u₃ = -1/2

(-2*u - 1)/(2*u² + u - 1) ≤ 0

|u E [-1;-1/2] U [1/2;+∞)
|u E [-1;1] =>
=> u E [-1;-1/2] U [1/2;1]
cos(x) E [-1;-1/2] U [1/2;1]
x E [-п/3 + k*п ; п/3 + k*п] k E Z