Регистрирайте сеРегистрирайте се

Правилна четириъгълна пирамида / 2 задачи


 
   Форум за математика Форуми -> Стереометрия
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
lilto
Начинаещ


Регистриран на: 03 May 2009
Мнения: 5


МнениеПуснато на: Thu May 07, 2009 7:46 pm    Заглавие: Правилна четириъгълна пирамида / 2 задачи

1. В правилна четириъгълна пирамида всички ръбове са равни на а. Да се построи сечението на пирамидата с равнина, определена от средите на два основни ръба и средата на височината на пирамидата, и да се намери лицето му.




2. Основният ръб на правилна четириъгълна пирамида е равен на b, а ъгълът между два съседни околни ръба на пирамидата е равен на α.
а) Да се намери обемът на пирамидата.
б) Да се намери лицето на пълната повърхнина на пирамидата.
в) През върха на тази пирамида, успоредно на основен ръб, е прекарана равнина, която сключва с равнината на основата ъгъл β. Да се намери лицето на сечението, получено от пресичането на тази равнина с пирамидата.


Благодаря предварително...
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Sun May 10, 2009 8:20 am    Заглавие:

Нека дадената пирамида е [tex]ABCDQ[/tex], при което [tex]AB=BC=CD=AD=b[/tex] и [tex]\angle AQB=\angle BQC=\angle CQD=\angle AQD=\alpha[/tex]. Построяваме [tex]QK\bot BC, K\in BC[/tex], откъдето, понеже [tex]BQ=CQ[/tex], то [tex]\angle BQK=\angle CQK=\frac{\alpha}{2}[/tex] и [tex]BK=CK=\frac{b}{2}[/tex]. От [tex]\triangle BKQ[/tex] имаме [tex]\tan{\frac{\alpha}{2}}=\frac{BK}{QK} \Leftrightarrow QK=\frac{BK}{\tan{\frac{\alpha}{2}}} \Leftrightarrow QK=BK \cot{\frac{\alpha}{2}} \Leftrightarrow QK=\frac{b}{2} \cot{\frac{\alpha}{2}}\, (*)[/tex].
От [tex](*) \Rightarrow S_{\triangle BCQ}=\frac{BC.QK}{2} \Leftrightarrow S_{\triangle BCQ}=\frac{1}{2}.b.\frac{b}{2} \cot{\frac{\alpha}{2}}[/tex]. Оттук, тъй като всичките околни стени са еднакви триъгълници, то [tex]S_{\cyr ok.}=4S_{\triangle BCQ} \Leftrightarrow S_{\cyr ok.}=b^2 \cot{\frac{\alpha}{2}}\, (**)[/tex].
От друга страна, [tex]S_{ABCD}=B=b^2\, (***)[/tex]. От [tex](**)[/tex] и [tex](***)[/tex] получаваме [tex]S_{1}=S_{\cyr ok.}+B \Leftrightarrow S_{1}=b^2 \cot{\frac{\alpha}{2}}+b^2[/tex].
Понеже [tex]QK\bot BC[/tex], от теоремата за трите перпендикуляра [tex]OK\bot QK[/tex], откъдето [tex]OK=BK[/tex] [tex](\angle BOK=\angle OBK=45^\circ)[/tex]; тук [tex]O[/tex] е ортогоналната проекция на върха на пирамидата върху основата. Тогава [tex]OK=\frac{b}{2}[/tex]. От [tex]\triangle QOK[/tex] получаваме [tex]QO^2+KO^2=KQ^2 \Leftrightarrow QO^2+(\frac{b}{2})^2=(\frac{b}{2} \cot{\frac{\alpha}{2}})^2 \Leftrightarrow QO=\frac{b}{2} \sqrt{\cot^2{\frac{\alpha}{2}}-1}[/tex].
Но [tex]\cot^2{\frac{\alpha}{2}}-1=\frac{cos^2 {\frac{\alpha}{2}}}{sin^2 {\frac{\alpha}{2}}}-1=\frac{cos^2 {\frac{\alpha}{2}}-sin^2 {\frac{\alpha}{2}}}{sin^2 {\frac{\alpha}{2}}}=\frac{cos\alpha}{sin^2 {\frac{\alpha}{2}}}[/tex]. Тогава [tex]QO=\frac{b\sqrt{cos\alpha}}{2 sin{\frac{\alpha}{2}}}\, (****)[/tex].
От [tex](***)[/tex] и [tex](****)[/tex] определяме [tex]V=\frac{1}{3}Bh \Leftrightarrow V=\frac{1}{3}.b^2.\frac{b\sqrt{cos\alpha}}{2 sin{\frac{\alpha}{2}}} \Leftrightarrow V=\frac{b^3\sqrt{cos\alpha}}{6 sin{\frac{\alpha}{2}}}[/tex].
Ще построим сечението на пирамидата с равнината. Избираме точка [tex]S[/tex] от ръба [tex]BC[/tex], при което [tex]BS\neq CS[/tex]. През точката [tex]S[/tex] прекарваме права, успоредна на ръба [tex]AB[/tex], която пресича [tex]AD[/tex] в точката [tex]T[/tex]. Тогава [tex]ST||AB[/tex] и сечението на равнината с пирамидата е [tex]\triangle STQ[/tex]. Нека [tex]QN\bot ST, N\in ST[/tex]. Ортогоналната проекция на [tex]QN[/tex] върху основата е [tex]ON[/tex], откъдето (по теоремата за трите перпендикуляра) [tex]ON\bot ST[/tex]. Тогава [tex]\angle QNO=\beta[/tex]. От [tex]\triangle QON[/tex] имаме [tex]sin\beta=\frac{OQ}{QN} \Leftrightarrow QN=\frac{OQ}{sin\beta} \Leftrightarrow QN=\frac{b\sqrt{cos\alpha}}{2 sin{\frac{\alpha}{2}} sin\beta}[/tex]. Сега [tex]ST||AB \Rightarrow ST=AB=b \Rightarrow S_{\triangle QST}=\frac{ST.QN}{2} \Leftrightarrow S_{\triangle QST}=\frac{b^2\sqrt{cos\alpha}}{4 sin{\frac{\alpha}{2}} sin\beta}[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Стереометрия Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.