Геометрична задача

[krainik]

Един фр ми каза следната задача, но не можах да я изкарам.
Върху страните [tex]BC,AC,AB[/tex] на [tex]\Delta ABC [/tex] са взети съответно точките [tex]A_{1},B_{1},C_{1}[/tex] така, че отсечките [tex]AA_{1},BB_{1},CC_{1}[/tex] се пресичат в една точка. Докажете, че ако точките [tex]A_{2},B_{2},C_{2}[/tex] са среди съответно на отсечките [tex]B_{1}C_{1},A_{1}C_{1},A_{1}B_{1}[/tex], то правите [tex]AA_{2},BB_{2},CC_{2}[/tex] се пресичат в една точка.
ПП Опитах се да го докарам чрез Чева за [tex]\Delta A_{2}B_{2}C_{2}[/tex], но не стана...

[Реклама]

[Pinetop Smith]

Нека [tex]\frac{C_1A}{C_1B} = \gamma[/tex], [tex]\frac{B_1C}{B_1A} = \beta[/tex], [tex]AA_2 \cap BC = A_3[/tex], [tex]B_1C_1 \cap BC = A_4[/tex]. С теоремата на Менелай, приложена за следните триъгълници и прави в следния ред:

1. [tex]\Delta ABC, A_4C_1B_1[/tex]
2. [tex]\Delta A_4B_1C, AC_1B[/tex]
3. [tex]\Delta A_4B_1C, AA_2A_3[/tex]

и някои "кратки" преобразувания стигаме до извода, че [tex]\frac{A_3B}{A_3C} = \frac{(\beta +1)\gamma }{\gamma +1 }[/tex]. Като разпишем двете аналогични равенства и като използваме, че [tex]\alpha\beta\gamma = 1[/tex], получаваме задачата.

ПП1: Може да има някое сгрешено отношение, все пак е рано, а я мислих вчера в 2, но важното(трите пъти Менелай) е ок.
ПП2: Мисля, че задачата може да се обобщи, като е достатъчно [tex]A_1A_2[/tex] и т.н. да се пресичат в 1 т. Проверих го с програма, сигурно ще излезе по същия начин.

[krainik]

Бтв казаха ми по-рационално решение. През [tex]C_{1}[/tex] и през [tex]B_{1}[/tex] прекарваш прави, успоредни на [tex]AA_{2}[/tex] и лесно намираш съотношението за [tex]A_{3}[/tex]