Примерна тема

[estoyanovvd]

Нещо като примерна тема за Софийския, подбрана от моя милост! ТУК! Решавайте и коментирайте!!!

[Реклама]

[r2d2]

Мисля си, че ще е по-добре ако направо ги качиш тук!
Примерно от 1-4
после 5-6
7-8
и отделно 9 и 10.

Не съм гледал зада4ите, но ако наистина прилчиат на тези от СУ, това е добра разбивка!
Естестествено можеш да си ги разбиеш както ти си искаш! (а и да не ги!)

[estoyanovvd]

Е, не е точно като примерните теми. Има повече геометрични с елементи на алгебра и нивото им е като от 5-та до 9-та в Софийския. Задачките са поучителни и мисля, че би трябвало да им се отдели подобаващо внимание!!!

[_sssss]

[tex]8. \; a\sqrt{x^2-2x+4}=1+\sqrt{x^2-2x+5}[/tex]
a=?:има реш.

[tex]\normal x^2-2x+4=u \ge 3[/tex]

[tex]\normal (a\sqrt{u})^2=(1+\sqrt{u+1})^2 \\ a>0 \\ u(a^2-1)=2+2\sqrt{u+1} \\ a>1\\ (u(a^2-1)-2)^2=(2\sqrt{u+1})^2 \\ u^2 (a^2-1)^2=4a^2 u \; \; \; u=\frac{4a^2}{(a^2-1)^2}[/tex]

[tex]\normal \frac{4a^2}{(a^2-1)^2} \ge 3[/tex]

[tex]\normal \frac{3a^4 - 10a^2 + 3}{(a^2 - 1)^2} \le 0 [/tex]

[tex]\normal a\in(1;\sqrt{3}][/tex]

[estoyanovvd]

Имаш грешка!

[Is it black or white?]

Зад. 3. В триъгълник АВС [tex] \frac{AC}{BC}=\frac{1}{2}[/tex], АВ=1. Намерете максималната стойност на ли-
ицето на триъгълника.


[tex]AC=x ; BC=2x[/tex]
[tex]cos(\angle ACB)=\frac{5x^{2}-1}{4x^{2}} [/tex]
[tex]sin\angle ACB)=\frac{\sqrt{10x^{2}-9x^{4}-1}}{4x^{2}} [/tex]
[tex]x\in [\frac{1}{3};1][/tex]

[tex]S_{ABC}=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{10x^{2}-9x^{4}-1}}{4x^{2}}2x^{2}=\frac{\sqrt{10x^{2}-9x^{4}-1}}{4}[/tex]
[tex]S=\frac{1}{4}f(x)[/tex]
[tex]f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{10x^{2}-9x^{4}-1}}(20x-36x^{3}) [/tex]
[tex]x\ne 1;\frac{1}{3} [/tex]
[tex]\frac{x(10-18x^{2})}{\sqrt{10x^{2}-9x^{4}-1}}=0 [/tex]

[tex]maxf(x)=f(\frac{\sqrt{5}} {3})=\frac{4}{3} [/tex]
[tex]S_{max}=\frac{1}{4}maxf(x)=\frac{1}{4}.\frac{4}{3} =\frac{1}{3} [/tex]

[arc]

Много хубави задачи, БЛАГОДАРЯ!
А на 8 къде е грешката, защото аз я решавам и получавам абсолютно същото?

[estoyanovvd]

[Is it black or white?]

[tex]x^{2}-2x+4=u[/tex]
[tex]x^{2}-2x+4-u=0[/tex]
[tex]D=1-4+u\ge 0[/tex]
=>[tex] u\ge 3[/tex]

[krainik]

Е, какъв е смисълът да пишеш пост 15 минути след като някой вече е написал абсолютно същото нещо... Става и с [tex]x^2-2x+4=(x-1)^2+3[/tex], ама какво от това

[Is it black or white?]

Просто знам, че ще има много хора, на които няма да им е ясно, от къде идва това, което г-н Стоянов е написал, идеята ми беше да стане ясно на тези, на които не е ...

[r2d2]

[estoyanovvd]

Колкото до u, мисля че най-добре е да намарите минимума и максимума на израза, защото не винаги ще можете да отделите точен квадрат! Нали?

[kakawida]

на 10-та-90 гр. ли се получава?

[krainik]

[_sssss]

да, 90 е.

Зад. 6. Точка М е от страната АВ на равностранния триъгълник АВС. Ако АВ=2, да се намери най-голямата стойност на произведението АМ*МВ*МС.

[tex]\normal MB=x \\ AM=2-x \\ x\in(0;2);[/tex]

cosT ▲MBC [tex]\normal \Rightarrow CM=\sqrt{x^2-2x+4}[/tex]

[tex]\sqrt{x^2-2x+4}=u \; \; \; u\in(\sqrt{3};2); \\ \normal AM*MB*MC=x(2-x)\sqrt{x^2-2x+4}=-x^2 u + 2xu[/tex]
max при [tex]\normal x=-\frac{b}{2a}=1\in(0;2)[/tex]

[tex]\normal u(1)\in(\sqrt{3};2)[/tex]

[tex]\normal max \; AM*MB*MC=\sqrt{3}[/tex]

Възможно е да може и по-кратко. Но само тази идея успя да ме "озари" до момента.

@Archer 3 с Хероновата формула и без производни, май ще е по-сексапилна.

[ганка симеонова]

При стандартните означения за страните на триъгълника АВС и изразявайки отсечките на които се разделят страните от ъглополовящите чрез самите страни получаваме
[tex]\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC} } =1-\frac{ab}{(a+c)(b+c) } -\frac{bc}{(a+b)(a+c) }-\frac{ac}{(a+b)(b+c) } =\frac{2abc}{ (a+b)(b+c)(a+c)} [/tex]
За знаменателя прилагаме неравенството СА-СГ=>
[tex]\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC} }=\frac{2abc}{ (a+b)(b+c)(a+c)}\le \frac{2abc}{8\sqrt{a^2b^2c^2} }=\frac{1}{4 } [/tex]
Равенство се достига, когато АВС е равностранен.

[ганка симеонова]

За 9 получих [tex]\frac{23}{75 } [/tex]

[estoyanovvd]

Не! Много си получила!!!

[ганка симеонова]

[tex]\frac{1}{150 } [/tex]
Сега вярно ли е? Ами, защото упорито смятах, че [tex]\frac{1}{5 } -\frac{2}{25 }=\frac{23}{25 } [/tex]

[estoyanovvd]

Сега е вярно. Задачката е от един от турнирите и е предложена от Александър Иванов. Между другото, не бяха много от участниците, които я бяха решили изцяло, макар че нивото и е кандидатстудентско.

[ганка симеонова]

Задачата не е трудна. Без ограничение можем да сичтаме, че [tex]b>a [/tex]
=>[tex]GQ=GB-BQ=\frac{2m_b(b-a)}{3(2a+b) } ; GP=AP-AG=\frac{2m_a(b-a)}{3(2b+a) }[/tex]
[tex]=>\frac{S_{GPQ}}{ S_{GA_1B}}=\frac{2(b-a)^2}{(2a+b)(2b+a) } [/tex], Но [tex] S_{GA_1B}=\frac{ab}{12} =>S_{GPQ}=\frac{ab-2(ab)^2}{ 6(5ab+2)} ; ab\le \frac{1}{ 2}[/tex]
Тази ф-я има НГС за [tex]u=ab=\frac{1}{5 } =>S_{GPQ}\le \frac{1}{150 } [/tex]

[ганка симеонова]

[martosss]

[_sssss]

[tex]\normal a\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty) \Rightarrow u>\frac{2}{a^2-1} \forall a[/tex]
и понеже a>0 => a>1
[tex]\normal a\in(-1;1) \Rightarrow u<\frac{2}{a^2-1} \\ a\in\emptyset[/tex]
За последното вече не съм толкова сигурна!

SOS! SOS!

[martosss]

Положи [tex]\sqrt{x^2-2x+5}=u\ u\ge 2[/tex] и всичко е ок, както r2d2 каза Аз я реших и получих твоя отговор

[martosss]

на 5-та [tex]2(\sqrt{2}-1)[/tex] ли се получава?

[ганка симеонова]

[ганка симеонова]

5) От свойството на ъглополовящата за [tex]\Delta AHC=>\frac{R+r}{r } =\frac{2b}{ a} =>\frac{R}{r }+1=\frac{2sinx}{ sin2x} =>\frac{R}{r }+1=\frac{1}{cosx } [/tex]
[tex]\Delta AHO=>\frac{2r}{ R} =-cos2x=>\frac{R}{r} =-\frac{2}{cos2x } [/tex]
=>[tex]-\frac{2}{cos2x }+1=\frac{1}{cosx } ; cosx=u=> 2u^3-2u^2-3u+1=0=>u=cosx=\frac{2-\sqrt{2} }{2 }=>cos2x=2(\sqrt{2}-1) [/tex]

[kakawida]

Зад.9
1-не мога да чертая на компютъра,съжалявам за което,но се надявам всеки да вземе лист и химикал и да чертае с мен:
1сл.ако тр.ABC е равнобедрен с връх C или равностранен се получава 90 гр.
2сл. (тр.ABC e произволен)Тъй като знаем какво трябва да докажем (нека СM е ъглополовящата),през M прекарваме права,която сключва 90 гр.с CM,тази права пресича AC в точка T.<ATM=90+y/2.,<AMT=90-<A-y/2 (1),<CMB=<A+y/2.Ако<BPC=x,<MBP=x-<A-y/2(2)
От(1)(2) имаме x=90.мисля,че това е отговора.