Интеграли,тригонометрични функции

[nat]

Ако може да помогнете за тези интеграли...

[Реклама]

[drago_prd]

Eто шестия:
[tex]\int{\sin^3{x}\cos^4{x}}dx=\\= -\int{\sin^2{x}\cos^4{x}d\cos{x}}=\\=-\int{\left(1-\cos^2{x}\right)\cos^4{x}}d\cos{x}=\\=-\int{\left(\cos^4{x}-\cos^6{x}\right)}d\cos{x}=\\=-\int{\cos^4{x}}d\cos{x}+\int{\cos^6{x}}d\cos{x}=\\=-\frac{cos^5{x}}{5}+\frac{\cos^{7}{x}}{7}+C[/tex]

[nat]

Благодаря ти за този интеграл!Ако може да ми помогнете и за другите...

[drago_prd]

Ето и петия:
[tex]\int{\frac{\sin^3{x}dx}{\cos^2{x}+1}}=\\=\int{\frac{-\sin^2{x}d\cos{x}}{\cos^2{x}+1}}=\\=\int{\frac{-\left(1-\cos^2{x}\right)+1-1}{\cos^2{x}+1}}d\cos{x}=\\=\int{\frac{\cos^2{x}+1-2}{\cos^2{x}+1}}d\cos{x}=\\=\int{\frac{\cancel{\cos^2{x}+1}}{\cancel{\cos^2{x}+1}}}d\cos{x}-2\int{\frac{1}{\cos^2{x}+1}}d\cos{x}=\\=\cos{x}-2\arctan{(cos{x})}+C[/tex]

Мисля, че е така.

[drago_prd]

Интеграл №8

[tex]\int{\frac{\cos^3{x}}{2+\sin{x}}dx}=\\=\int{\frac{\cos^2{x}}{2+\sin{x}}d\sin{x}}=\\=\int{\frac{1-\sin^2{x}}{2+\sin{x}}d\sin{x}}=\\=\int{\frac{4-\sin^2{x}-3}{2+\sin{x}}d\sin{x}}=\\=\int{\frac{\left(2-\sin{x}\right)\left(2+sin{x}\right)-3}{2+\sin{x}}d\sin{x}}=\\=\int{\frac{\left(2-\sin{x}\right)\cancel{\left(2+sin{x}\right)}}{\cancel{2+\sin{x}}}d\sin{x}}-3\int{\frac{d\sin{x}}{2+\sin{x}}}=\\=\int{\left(2-\sin{x}\right)}d\sin{x}-3\int{\frac{d\sin{x}}{2+\sin{x}}}=\\=2\int{}d\sin{x}-\int{\sin{x}}d\sin{x}-3\int{\frac{d\(2+sin{x})}{2+\sin{x}}}=\\=2\sin{x}-\frac{\sin^2{x}}{2}-3\ln{2+\sin{x}}+C[/tex]

[nat]

Благодаря ти и за тези!

[drago_prd]

Интеграл №2

[tex]\int{\frac{dx}{\cos{x}\sin^3{x}}}=\\=\int{\frac{dx}{\cos{x}\sin{x}(\sin^2{x})}}=\\=-\int{\frac{dcotg{x}}{\sin{x}\cos{x}}}=\\=-\left(cotg{x}.\frac{1}{\sin{x}\cos{x}}-\int{cotg{x}}d\frac{1}{\sin{x}\cos{x}}\right)=[/tex]

Намираме производната на:
[tex]\left(\frac{1}{\sin{x}\cos{x}}\right)'=\frac{1}{\sin{x}\cos{x}}[/tex]

Продължаваме с интеграла:
[tex]=-\left(\frac{\cancel{\cos{x}}}{\sin{x}}.\frac{1}{\sin{x}\cancel{\cos{x}}}-\int{\frac{\cos{x}}{\sin{x}}.\left(\frac{1}{\sin{x}\cos{x}}\right)'}dx\right)=\\=-\left(\frac{1}{\sin^2{x}}-\int{\frac{\cancel{\cos{x}}}{\sin{x}}.\frac{1}{\sin{x}\cancel{\cos{x}}}}dx\right)=\\=-\frac{1}{\sin^2{x}}+\int{\frac{dx}{\sin^2{x}}}=\\=-\frac{1}{\sin^2{x}}-cotg{x}+C[/tex]

[drago_prd]

Интеграл №3

[tex]\int{\frac{\sin^4{x}}{\cos^2{x}}}dx=\\=\int{\frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}\sin^2{x}}dx=\\=\int{\left(\frac{1}{\cos^2{x}}-1\right)\sin^2{x}}dx=\\=\int{\left(\frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}-\sin^2{x}\right)}dx=\\=\int{\frac{\sin^2{x}}{cos^2{x}}}dx-\int{\sin^2{x}}dx=\\=\int{sin^2{x}}tg{x}-\int{\frac{1-\cos{2x}}{2}}dx=\\=tgx.sin^2{x}-\int{tgx}d\sin^2{x}-\frac{1}{2}\int{}dx+\frac{1}{4}\int{\cos{2x}}d2x=\\=tg{x}\sin^2{x}-\int{\frac{\sin{x}}{\cancel{\cos{x}}}.2\sin{x}\cancel{\cos{x}}}dx-\frac{x}{2}+\frac{sin{2x}}{4}=\\=tgx\sin^2{x}-2\int{sin^2{x}dx}-\frac{x}{2}+\frac{\sin{2x}}{4}=\\=tgx\sin^2{x}-\frac{3x}{2}+\frac{3\sin{2x}}{4}+C[/tex]

[nat]

7-мия успях да го реша.Би трябвало да е верен.

[ins-]

Упътване за последния:
[tex]\int \frac{dx}{\sqrt{1-sin^4x}}[/tex]
1.[tex]\int \frac{dx}{\sqrt{(1-sin^2x)(1+sin^2x)}}[/tex]
2.[tex]\int \frac{dx}{\sqrt{(cos^2x)(1+sin^2x)}}[/tex]
3.[tex]\int \frac{dx}{cosx\sqrt{1+sin^2x}}[/tex]
4.[tex]\int \frac{cosxdx}{cos^2x\sqrt{1+sin^2x}}[/tex]
5.[tex]\int \frac{cosxdx}{(1-sin^2x)\sqrt{1+sin^2x}}[/tex]
6.[tex]\int \frac{dsinx}{(1-sin^2x)\sqrt{1+sin^2x}}[/tex]
7. След това имаше едни известни субституции ... на Чебишев вероятно, но съм ги забравил. Поразрови се в учебника.

Забележка: на стъпка 3. В знаменателя - мисля, че трябва да се вземе |cosx| и да се разгледат различни случаи. Предполагам, че някой по-запознат от мен може да изкаже мнение

[ferry2]

4. [tex]\int \frac{\cos x}{\sin x+2\tan x}.dx=\int \frac{\cos ^2x}{\sin x.\cos x+2\sin x}.dx[/tex]
Полагаме [tex]\cos x=t,x=\arccos t,dx=-\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}},\sin x=\sqrt{1-t^2}[/tex]

[tex]\int \frac{t^2}{\sqrt{1-t^2}.t+2\sqrt{1-t^2}}.\left(-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\right).dt=[/tex]

[tex]=-\int \frac{t^2}{t.(1-t^2)+2(1-t^2)}.dt=-\int \frac{t^2}{(1-t^2)(t+2)}.dt=-\int \left(\frac{A}{t+2}+\frac{Mt+N}{1-t^2}\right).dt[/tex]

[tex]\frac{t^2}{(1-t^2)(t+2)}=\frac{A}{t+2}+\frac{Mt+N}{1-t^2}[/tex]

[tex]t^2=A(1-t^2)+(Mt+N)(t+2)\Leftrightarrow t^2=A-At^2+Mt^2+2Mt+Nt+2N\Leftrightarrow t^2=(M-A)t^2+(2M+N)t+2N+A[/tex]
Правим системата, за да определим [tex]A,M,N[/tex]:

[tex]\begin{tabular}{|||}M-A=1 \\ 2M+N=0 \\ 2N+A=0\rightarrow A=-2N\\\end{tabular}[/tex]

[tex]\begin{tabular}{||}M+2N=1 \\ 2M+N=0\rightarrow N=-2M \\\end{tabular}[/tex]

[tex]M-4M=1\Rightarrow M=-\frac{1}{3},N=\frac{2}{3},A=-\frac{4}{3}[/tex]

[tex]-\int \frac{-4}{3(t+2)}.dt-\int \frac{-\frac{1}{3}t+\frac{2}{3}}{1-t^2}.dt=[/tex]

[tex]=\frac{4}{3}\int \frac{d(t+2)}{t+2}-\frac{1}{3}\int \frac{2-t}{1-t^2}.dt=[/tex]

[tex]=\frac{4}{3}\ln |t+2|-\frac{2}{3}\int \frac{dt}{1-t^2}+\frac{1}{3}\int \frac{t}{1-t^2}.dt=[/tex]

[tex]=\frac{4}{3}\ln |t+2|-\frac{1}{\cancel{2}}.\frac{\cancel{2}}{3}\ln \left|\frac{1+t}{1-t}\right|-\frac{1}{6}\int \frac{d(t^2.(-1)+1)}{1-t^2}=[/tex]

[tex]=\frac{4}{3}\ln |t+2|-\frac{1}{3}\ln \left|\frac{1+t}{1-t}\right|-\frac{1}{6}\ln |1-t^2|+C[/tex]
Като не забравиш след това да се върнеш в полагането!

[nat]

Много благодаря и за това решение.

[nat]

Ако може някой да помогне и за 1,9,10.

[ганка симеонова]

9)[tex]\int_{}^{ } \frac{6+tg^2x}{cos^2x(tg^2x+4) } dx=\int_{}^{ } \frac{6+tg^2x}{tg^2x+4 } d(tgx)=... [/tex]- дробно- рационална ф-я...

[nat]