Хубава екстремална задача

[uktc]

Даден е прав кръгов цилиндър с радиус r=5 и височина h=6. Разглеждаме множеството от правилни триъгълни пирамиди, основите на които лежат в равнината на едната основа на цилиндъра и всичките им околни стени се допират до другата му основа. Измежду тях да се намери повърхнината на пирамидата, имаща най-малък обем.

Давана е през 1993г. в Висше военнотранспортно училище "Тодор Каблешков"- София.

[Реклама]

[M_Velinova]

Нещо аз ли не разбирам условието, или има грешка?

Vel

[uktc]

Не, няма грешка!
Пирамидите са ОПИСАНИ около сферата по посочения начин.
Какво ти се струва, че е сгрешено?

[M_Velinova]

[M_Velinova]

Извинявай, цилиндър.

[uktc]

Да, де, цилиндър
По навик написах сфера.

[M_Velinova]

Извинявай, заблуда! Упорито си мислех, че е вписана основата в кръга.

Между другото, решенията на турнира вече са публикувани.

[martin_bg]

Получава ми се за страната на основата на пирамидата а = (3 по корен от 3) / 2 ( 3*sqrt(3) / 2 )

Изразявам обема само чрез а , като h = 6 + m и m e височината на малката пирамида , но понеже тя е подобна с голямата => m/ m + 6 = a1 / a = 10*sqrt(3) / a ( a1 е страната на малкия равностранен триъгълник и я намираме лесно като знаем радиуса на вписаната в този триъгълник пирамида - радиуса на цилиндъра = 5).
И понеже V= ((m+ 6) *a*a*sqrt(3) ) / 12 , заместване m от горното уравнение и получаваме V = (sqrt(3) / 2 ) * (a*a*a / a - sqrt(3) ) и от тук намираме производната на (a*a*a / a - sqrt(3) ) и намираме , че при а > 0 глобалния минимум е 3*sqrt(3) / 2
=> V min = V = (sqrt(3) / 2 ) * (a*a*a / a - sqrt(3) ) = 81*sqrt(3) / 8

[DevilFighter]

Аз получавам за V = ( [ √(3) ]/2 )* [ (a³) / (a-10√(3) ) ] , височината на пирамидата H = (6a) / (a - 10√(3) ) , minV е равно при а = 15√(3)

Правилно ли съм работил? ( разминават ми се отговорите с на martin_bg )

[martin_bg]