 Регистрирайте се
| Предишната тема :: Следващата тема |
| Автор |
Съобщение |
vili_4
Начинаещ
Регистриран на: 02 May 2009
Мнения: 22
  
|
 Пуснато на: Sat May 02, 2009 2:09 am Заглавие: едно ОДУ |
|
|
Здравейте 
Разглеждах из форума и видях, че има хора, които са наясно с тези ОДУ (за разлика от мен  ) Някой ще може ли да ми помогне с :
(2x2y2+y)dx+(x3y-x)dy=0 |
|
| Върнете се в началото |
|
 |
Реклама
|
| Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
ганка симеонова
SUPER VIP
Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
гласове: 298
|
| Пуснато на: Sat May 02, 2009 6:45 am Заглавие: |
|
|
| Напиши го по- добре. Явно има квадрати някъде. |
|
| Върнете се в началото |
|
|
London
Начинаещ
Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 7
|
| Пуснато на: Sat May 02, 2009 9:04 am Заглавие: |
|
|
Някой може ли да ми обясни как се решават такива диференциални уравнения?  Интересно ми е |
|
| Върнете се в началото |
|
|
vili_4
Начинаещ
Регистриран на: 02 May 2009
Мнения: 22
|
| Пуснато на: Sat May 02, 2009 11:56 am Заглавие: |
|
|
Изобщо не обърнах внимание как съм го написала 
(2x2y2+y)dx+(x3y-x)dy=0 |
|
| Върнете се в началото |
|
|
Flame
Редовен
Регистриран на: 24 Mar 2009
Мнения: 213
Местожителство: София
гласове: 16
|
| Пуснато на: Sat May 02, 2009 3:28 pm Заглавие: |
|
|
| vili_4 написа: | Изобщо не обърнах внимание как съм го написала
(2x2y2+y)dx+(x3y-x)dy=0 |
Точно или (тотално) ДУ от първи ред:
[tex]P(x,y) dx+Q(x,y)dy=0[/tex]
Ако лявата страна на това уравнение е пълен диференциал на някаква функция то:
[tex]\frac{ \partial P(x,y) }{ \partial y } =\frac{\partial Q(x,y)}{ \partial x}[/tex] - условие за интегрируемост
Да видим в нашия случай:
[tex]\frac{ \partial P(x,y) }{\partial y }= 1 + 4 x^2 y[/tex]
[tex]\frac{\partial Q(x,y) }{\partial x}=-1 + 3 x^2 y[/tex]
Определено уравнението не е точно.
В такъв случай се търси интегриращ множител u, който да умножи първоначалното уравнение и да се получи точно уравнение.
Има стройна методика за търсене на множители. Те са:
- функциая само на x
- функциая само на y
- функциая само на xy
- функциая само на [tex]\frac{x}{y}[/tex], и други
Правим разликата [tex]\frac{\partial P(x,y) }{\partial y } -\frac{\partial Q(x,y) }{\partial x} = 2 + x^2 y [/tex]
Това ни подсказва, (не задължително), че ако търсим интегриращ множител във вид xy може да се получи лесно решимо уравнение (повтарям не задължително) да проверим.
Интегриращ множител z=xy се търси във вид:
[tex]u=e^{\int_{}^{ } \frac{1}{x.P-yQ}.(\frac{ \partial Q}{dx } - \frac{\partial P}{\partial y } )dz }[/tex]
Да съставим и опростим подинтегралната функция:
[tex]\frac{1}{x.P-yQ}.(\frac{ \partial Q}{dx } - \frac{\partial P}{\partial y } )=\frac{1}{(y + 2 x^2 y^2).x- (x^3 y - x).y} (-1 + 3 x^2 y -1 - 4 x^2 y)=-\frac{1}{xy} [/tex]
И заместваме:
[tex]u=e^{\int_{}^{ }-\frac{1}{z}dz[/tex]
[tex]u=e^{-ln{z}}[/tex]
[tex]u=\frac{1}{z }=\frac{1}{xy} [/tex]
Умножаваме първоначалното уравнение:
[tex]P = (2 x^2 y^2 + y).\frac{1}{xy}[/tex]
[tex]Q = (x^3 y - x).\frac{1}{xy}[/tex]
Правим проверка за точност:
[tex]\frac{ \partial P(x,y) }{\partial y }= 2x[/tex]
[tex]\frac{\partial Q(x,y) }{\partial x}= 2x[/tex]
И такa достигнахме до следното точно ДУ:
[tex]\frac{2 x^2 y^2 + y}{xy}dx+\frac{x^3 y - x}{xy}dy=0[/tex]
Това уравнение има вече решение чрез непосредствено интегриране по една от двете формули:
[tex](1) \int_{}^{ } P(x,y)dx+\int_{}^{ } [Q(x,y)-\int_{}^{ }\frac{ \partial P(x,y) }{\partial y }dx ]dy=C[/tex] или
[tex](2) \int_{}^{ } Q(x,y)dy+\int_{}^{ } [P(x,y)-\int_{}^{ }\frac{ \partial Q(x,y) }{\partial x }dy ]dx=C[/tex]
Остава да решим три интеграла и сме готови:
[tex]\int_{}^{ } P(x,y)dx=\int_{}^{ }\frac{(y + 2 x^2 y^2)}{x y}dx=\int_{}^{ }\frac{1}{ x} dx+\int_{}^{ } 2xydx=ln{x}+x^2 y[/tex]
и другите два:
[tex]\int_{}^{ }[Q(x,y)-\int_{}^{ }\frac{ \partial P(x,y)}{\partial y}dx ]dy[/tex]
[tex]=\int_{}^{ }[\frac{-x + x^3 y}{x y}-\int_{}^{ }2x.dx]dy=[/tex]
[tex]=\int_{}^{}\frac{-x + x^3 y}{x y}-x^2.dy=\int_{}^{ }(-x^2 +\frac{-x}{ xy}+ \frac{x^3 y}{x y})dy=\int_{}^{ }( -x^2+x^2- \frac{1}{y })dy=-ln{y}[/tex]
За окончателния отговор от (1) получаваме:
[tex]x^2 y + ln {x} - ln {y} = C[/tex]
ПП Хубав отговор се получи, ако желае някой може да потърси явен вид на решението [tex]y=f(x)[/tex], от мен толкова.
Последната промяна е направена от Flame на Sat May 02, 2009 6:44 pm; мнението е било променяно общо 2 пъти |
|
| Върнете се в началото |
|
|
vili_4
Начинаещ
Регистриран на: 02 May 2009
Мнения: 22
|
| Пуснато на: Sat May 02, 2009 5:30 pm Заглавие: |
|
|
И идея си нямаш колко съм ти благодарна 
Последната промяна е направена от vili_4 на Sat May 02, 2009 6:05 pm; мнението е било променяно общо 1 път |
|
| Върнете се в началото |
|
|
vili_4
Начинаещ
Регистриран на: 02 May 2009
Мнения: 22
|
| Пуснато на: Sat May 02, 2009 5:32 pm Заглавие: |
|
|
| БЛАГОДАРСКОООООО!!!! |
|
| Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
|
|
Меню
