ЮЗУ, 2001

[v1rusman]

зад. Даден е остроъгълен [tex]\Delta ABC[/tex], [tex]H[/tex] - ортоцентър, [tex]AH=BH=3, CH=\sqrt{3}[/tex]. Да се намери радиусът [tex]R[/tex] на описаната около [tex]\Delta ABC[/tex] окръжност.

[Реклама]

[NoThanks]

Виж тук. http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=9166

[_sssss]

Написах нещо набързо(▲ABC-равноб.; 2 правоъгълни ▲-ка с ъгъл C/2 и sinT за ▲ABC) и изкарах [tex]R=\frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex].
Толкова ли е?

[v1rusman]

Толкова е наистина. Браво ! Все пак за всички ще е добре да напишеш решение.

[_sssss]

[tex]\normal AH=BH \Rightarrow H \in S_{AB}; \; \; \; CD \perp AB \Rightarrow CD\in S_{AB} \; \Rightarrow \Delta ABC[/tex] - равнобедрен
[tex]\normal 90^\circ - \frac{\gamma}{2}=\beta \\ \angle CHE = \angle AHD = \angle BHD = \beta \Rightarrow \angle HBD=\frac{\gamma}{2}[/tex]

[tex]\normal \Delta DBH, \Delta ECH , \Delta BDC: \; \; sin {\frac{\gamma}{2}}=\frac{x}{\sqrt{3}}=\frac{y}{3}=\frac{AB}{2CB} \\ y=x\sqrt{3} \; CB=\frac{AB\sqrt{3}}{2x}[/tex]

[tex]\normal AE.CB=AB.CD \\ AB\sqrt{3}(x+1)=(3+x)\frac{AB\sqrt{3}}{2x} \\ 2x^2+x-3=0 \; \; \; x=1[/tex]

[tex]\normal AB=2\sqrt{6}; \; \; \; cos{\frac{\gamma}{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}} \\ sin \gamma=2sin{\frac{\gamma}{2}}cos{\frac{\gamma}{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3} \\ sinT \Delta ABC \Rightarrow R=\frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex]

Доста е длъжко, може това на NoThanks да е по-тарикатско, не знам.

[ros4e]

да и аз го получих доста дълго реш-е направих използвах само синусова т-ма за почти всички триъгълници. Ех, тази синусова- мн я уважавам