2x^4-3x^3-1=0

[ганка симеонова]

Това уравнение може да се реши

[tex]2x^4-3x^3-1=0 [/tex]

[Реклама]

[martosss]

[tex]x^4-\frac{3}{2}x^3-\frac{1}{2}=0\;\;\; (0)[/tex]
Нека предположим, че даденото у-е може да се разложи до [tex](x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=0[/tex]
Тогава след разкриване на скобите получаваме
[tex]x^4+(a+c)x^3+(b+d+ac)x^2+(ad+bc)x+bd=0\;\;\;\;\; (1)[/tex]
[tex](1)[/tex] трябва да има същите коефициенти като [tex](0)[/tex], тоест получаваме система:
[tex]\begin{tabular}{|1}a+c=-\frac{3}{2}\\b+d+ac=0\\ad+bc=0\\bd=-\frac{1}{2}\end{tabular}[/tex]
Сега от последното уравнение имаме или [tex]\begin{tabular}{|1}b=-1\\ d=\frac{1}{2}\end{tabular}[/tex] или [tex]\begin{tabular}{|1}b=1\\ d=-\frac{1}{2}\end{tabular}[/tex] (може и да разменим стойностите на [tex]b[/tex] и [tex]d[/tex], но това не води до други решения, а просто коефициентите в двете скоби в [tex](1)[/tex] ще се разместят. По принцип когато гледаме случаите на това произведение трябва да се получават само цели числа за [tex]b[/tex] и [tex]d[/tex], примерно ако [tex]b*d=8[/tex] имаме [tex]b=1, d=8; b=2, d=4; b=-1, d=-8; b=-2, d=-4[/tex].
В случая се стига до проба с дроби, което по принцип би трябвало да не правим, стига да сме сигурни че ще получим решение какъвто е моя случай
Трябва също така до отбележа, че ако започнем да заместваме а б с с цел да стигнем до едно уравнение ще получим първоначалното, така че е безсмислено - в случая трябва да се "налучкат" стойностите на [tex]b[/tex] и [tex]d[/tex] )

Нека разгледаме първия случай(разбира се при него ще има решение )

Имаме системата
[tex]\begin{tabular}{|1}a+c=-\frac{3}{2}\\b+d+ac=0\\ad+bc=0\\b=-1\\d=\frac{1}{2}\end{tabular}\Leftright \Right \begin{tabular}{|1}a=-\frac{3}{2}-c\\b+d+ac=0\;\; (2)\\ad+bc=0\;\; (3)\\b=-1\\d=\frac{1}{2}\end{tabular}[/tex]

Сега заместваме [tex]a,b[/tex] и [tex]d[/tex] във [tex](2)[/tex] и [tex](3)[/tex] и получаваме
[tex]\begin{tabular}{|1}c^2+\frac{3}{4}c+\frac{1}{2}=0\\-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}c-c=0\end{tabular}[/tex]

От тази система [tex]c=-\frac{1}{2}[/tex], откъдето [tex]a=-\frac{3}{2}-(-\frac{1}{2})=-1[/tex] и за [tex](1)[/tex] получаваме

[tex](x^2-x-1)(x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2})=0\;\;\;(4)[/tex]

Ако разкрием скобите в [tex](4)[/tex] и умножим по [tex]2[/tex] ще получим първоначалното уравнение.

Това е Методът на неопределените коефициенти.

С това разложихме у-ето до две квадратни, остава да намерим техните корени.

Оказва се, че първата скоба има корени [tex]x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt 5}{2}[/tex], а втората скоба има отрицателна дискриминанта, тоест няма решение.

С това задачата приключва.

[ганка симеонова]

Ех, тези МНК
Браво. Аз, знаеш ли какво направих. Разделих на [tex]-x^4 [/tex] и положих [tex]u=\frac{1}{ x} =>u^4+3u-2=0=>(u^2+\frac{1}{2 } )^2-(u-\frac{3}{2 } )^2=0 ... [/tex]

[Николай Ставрев]

Е да това става ,защото крайните коефициенти са цели числа а на другото с цели числа не става

[Николай Ставрев]

Също става и с [tex](ax^{2}+bx+c)(x^{2}+dx+e)=0[/tex]

[martosss]

А бе в случая не са много цели - имаме и ½, ама какво да се прави... при 1/2 гледаме 1*1/2=1/2
Ама какво да се прави.. щом Ганка го е дала ще решаваме

[ганка симеонова]

[martin.nikolov]

[martosss]

ем да, по принцип се търсят реални, за това го пиша така