| Предишната тема :: Следващата тема |
| Автор |
Съобщение |
eli7ooooo
Начинаещ
Регистриран на: 29 Mar 2008
Мнения: 38
  
|
 Пуснато на: Thu Apr 30, 2009 12:40 pm Заглавие: ОДУ от 1-ви рeд |
|
|
1. [tex] y'\sqrt{4+x^2} =y[/tex]
2.[tex]y'=ycotgx+sinx[/tex]
3. [tex]y'-2xy=2x^3y^2[/tex]
Може ли малко помощ всъщност това съм го учила ама имам нужда от преговор че почти нищо не помня а трябва да се упръжнявам за изпит  |
|
| Върнете се в началото |
|
 |
Реклама
|
| Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
stflyfisher
Напреднал
Регистриран на: 26 Jan 2009
Мнения: 394
гласове: 10
|
| Пуснато на: Thu Apr 30, 2009 1:16 pm Заглавие: Re: ОДУ от 1-ви рeд |
|
|
| eli7ooooo написа: | 1. [tex] y'\sqrt{4+x^2} =y[/tex]
Може ли малко помощ всъщност това съм го учила ама имам нужда от преговор че почти нищо не помня а трябва да се упръжнявам за изпит |
Като за начало да припомня една формула  :
[tex] y'=\frac{dy}{dx}[/tex]
[tex] y'\sqrt{4+x^2} =y[/tex]
[tex] \frac{dy}{dx}\sqrt{4+x^2} =y[/tex]
[tex]sqrt{4+x^2}dy=ydx[/tex]
[tex]ydx-sqrt{4+x^2}dy=0[/tex]
Това ДУ е от вида:
[tex]P(x)M(y)dx+Q(x)N(y)dy=0[/tex]
Най-лесния вид ДУ за решаване- ДУ с отделящи се променливи:
[tex]P(x)M(y)dx+Q(x)N(y)dy=0 /:Q(x)M(y)\ne 0[/tex]
[tex] \frac{N(y)}{M(y)}dy=-\frac{P(x)}{Q(x)}dx[/tex]
[tex] \int_{}^{ }\frac{N(y)}{M(y)}dy=-\int_{}^{ } \frac{P(x)}{Q(x)}dx +C[/tex]
[tex]ydx-sqrt{4+x^2}dy=0[/tex]
[tex]\frac{dx}{sqrt{4+x^2}}=\frac{dy}{y}[/tex]
[tex]\int_{}^{ } \frac{dy}{y}=\int_{}^{ } \frac{dx}{sqrt{4+x^2}}+C[/tex]
Остава само да се решaт двата интеграла, а те са таблични. Втория почти де 
Последната промяна е направена от stflyfisher на Thu Apr 30, 2009 2:28 pm; мнението е било променяно общо 1 път |
|
| Върнете се в началото |
|
|
stflyfisher
Напреднал
Регистриран на: 26 Jan 2009
Мнения: 394
гласове: 10
|
| Пуснато на: Thu Apr 30, 2009 1:35 pm Заглавие: Re: ОДУ от 1-ви рeд |
|
|
| eli7ooooo написа: |
2.[tex]y'=ycotgx+sinx[/tex]
|
2.[tex]y'=ycotgx+sinx[/tex]
Това ДУ е от вида:
[tex] y'=P(x)y+Q(x)[/tex]
или:
[tex] y'+a(x)y=b(x)[/tex]
Линейно ДУ от първи ред и решенията се дават по формулата:
[tex] y=e^{-\int a(x)dx}.[\int e^{\int a(x)dx}.b(x)dx+C][/tex]
[tex]y'=ycotgx+sinx[/tex]
[tex]y'+(-cotgx) . y = sinx[/tex]
[tex] a(x) = -cotgx, b(x)=sinx[/tex]
Решенята са:
[tex] y=e^{\int cotgxdx}.[\int e^{-\int cotgxdx}.sinxdx+C][/tex]
Остават да се решат двата интеграла. Като при този:
[tex] \int cotgxdx[/tex]
е малко по трудно. Ако те затруднява пиши |
|
| Върнете се в началото |
|
|
stflyfisher
Напреднал
Регистриран на: 26 Jan 2009
Мнения: 394
гласове: 10
|
| Пуснато на: Thu Apr 30, 2009 2:18 pm Заглавие: Re: ОДУ от 1-ви рeд |
|
|
| eli7ooooo написа: |
3. [tex]y'-2xy=2x^3y^2[/tex]
|
ДУ от вида:
[tex] y'+P(x)y=Q(x)y^{m}[/tex]
се нарича ДУ на Бернули или Бернулиеви ДУ.
Едно решение е [tex] y=0[/tex]. Нека [tex] y\ne 0 => y^m\ne 0[/tex]
[tex] y'+P(x)y=Q(x)y^{m}|:y^{m}\ne 0[/tex]
[tex]\frac{y'}{y^{m}}+P(x)\frac{y}{y^{m}}=Q(x)[/tex]
[tex]\frac{y'}{y^{m}}+P(x)y^{1-m}=Q(x)[/tex]
Решават се чрез полагането:
[tex] z=y^{1-m}, z=z(x) =>[/tex]
[tex] z'=(1-m)y^{-m}y' =>[/tex]
[tex]\frac{y'}{y^{m}}=\frac{z'}{1-m} =>[/tex]
Заместваме в:
[tex]\frac{y'}{y^{m}}+P(x)y^{1-m}=Q(x) =>[/tex]
[tex]\frac{z'}{1-m}+P(x)z=Q(x)[/tex]
[tex] z'+(1-m)P(x)z=(1-m)Q(x)[/tex]
Полагаме:
[tex] a(x)=(1-m)P(x), b(x)=(1-m)Q(x)[/tex]
И се достига до:
[tex] z'+a(x)z=b(x)[/tex],
което е линейно. След неговото решаване(виж предния пост) остaва само да се върнем в полагнето.
[tex]y'-2xy=2x^3y^2 |:y^{2}\ne 0[/tex]
[tex]\frac{y'}{y^2}-\frac{xy}{y^2}=2x^3[/tex]
[tex]\frac{y'}{y^2}-xy^{-1}=2x^3[/tex]
Полагаме:
[tex] z=y^{-1}=\frac{1}{y}, z=z(x)[/tex]
[tex] z'=(-1)y^{-1-1}y'[/tex]
[tex] z'=-y^{-2}y'[/tex]
[tex] \frac{y'}{y^2}=-z'[/tex]
[tex]\frac{y'}{y^2}-xy^{-1}=2x^3[/tex]
[tex] -z'-xz=2x^3[/tex]
[tex] z'+xz=-2x^3[/tex]
[tex] a(x)=x, b(x)=-2x^3[/tex]
[tex] z=e^{-\int xdx}.[\int e^{\int x}.(-2x^3)dx+C][/tex],
но
[tex]z=\frac{1}{y}=>[/tex]
[tex]\frac{1}{y}= e^{-\int xdx}.[\int e^{\int xdx}.(-2x^3)dx+C][/tex]
Решаваш двата интеграла и задачата е решена. |
|
| Върнете се в началото |
|
|
eli7ooooo
Начинаещ
Регистриран на: 29 Mar 2008
Мнения: 38
|
| Пуснато на: Sat May 09, 2009 8:18 am Заглавие: Re: ОДУ от 1-ви рeд |
|
|
| stflyfisher написа: | | eli7ooooo написа: |
2.[tex]y'=ycotgx+sinx[/tex]
|
2.[tex]y'=ycotgx+sinx[/tex]
Това ДУ е от вида:
[tex] y'=P(x)y+Q(x)[/tex]
или:
[tex] y'+a(x)y=b(x)[/tex]
Линейно ДУ от първи ред и решенията се дават по формулата:
[tex] y=e^{-\int a(x)dx}.[\int e^{\int a(x)dx}.b(x)dx+C][/tex]
[tex]y'=ycotgx+sinx[/tex]
[tex]y'+(-cotgx) . y = sinx[/tex]
[tex] a(x) = -cotgx, b(x)=sinx[/tex]
Решенята са:
[tex] y=e^{\int cotgxdx}.[\int e^{-\int cotgxdx}.sinxdx+C][/tex]
Остават да се решат двата интеграла. Като при този:
[tex] \int cotgxdx[/tex]
е малко по трудно. Ако те затруднява пиши |
това не мога да го дореша ...  |
|
| Върнете се в началото |
|
|
ганка симеонова
SUPER VIP
Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
гласове: 298
|
| Пуснато на: Sat May 09, 2009 9:06 am Заглавие: |
|
|
| [tex]\int_{}^{ } cotgxdx=\int_{}^{ } \frac{cosx}{sinx } dx=\int_{}^{ } \frac{dsinx}{sinx }=ln/sinx/+C [/tex] |
|
| Върнете се в началото |
|
|
eli7ooooo
Начинаещ
Регистриран на: 29 Mar 2008
Мнения: 38
|
| Пуснато на: Sat May 09, 2009 11:32 am Заглавие: |
|
|
| ганка симеонова написа: | | [tex]\int_{}^{ } cotgxdx=\int_{}^{ } \frac{cosx}{sinx } dx=\int_{}^{ } \frac{dsinx}{sinx }=ln/sinx/+C [/tex] |
Мерси много  |
|
| Върнете се в началото |
|
|
|
Меню
Регистрирайте се
