комбинаторни тъждества

[ub40]

C_n^k = C_n^n-k

C_n^k + C_n^k+1=C_n+1^k+1


трябвя да се докажат тъждествата
тази задача е решена в учебника на Паскалева (второ ровнище 10 клас) на 254 стр обаче не мога да разбера решението, моля някоой да я обясни или да е разпише с формули или и аз нэ

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Използва се формулата за комбинации: [tex]C_{m}^s=\frac{m!}{s!(m-s)!}[/tex]. В такъв случай просто се развиват изразите за комбинации:
[tex]C_{n}^k=\frac{n!}{k!(n-k)!};[/tex]
[tex]C_{n}^{n-k}=\frac{n!}{(n-k)![n-(n-k)]!}=\frac{n!}{(n-k)!(\cancel n-\cancel n+k)!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}[/tex].
Тогава [tex]\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \Leftrightarrow C_{n}^k=C_{n}^{n-k}[/tex].
По второто е същото:
[tex]C_{n}^k=\frac{n!}{k!(n-k)!};[/tex]
[tex]C_{n}^{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!};[/tex]
[tex]C_{n+1}^{k+1}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n+\cancel 1-k-\cancel 1)!}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}[/tex].
Съобразявайки се с факта, че [tex]n!=n(n-1)(n-2)...1[/tex], преобразуваме комбинациите и заместваме в исканото условие:
[tex]\frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{\cancel {n!}}{\cancel {k!}(n-k)\cancel {(n-k-1)!}}+\frac{\cancel {n!}}{(k+1)\cancel {k!}\cancel {(n-k-1)!}}=\frac{(n+1)\cancel {n!}}{(k+1)\cancel {k!}(n-k) \cancel {(n-k-1)!}} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{1}{n-k}+\frac{1}{k+1}=\frac{n+1}{(k+1)(n-k)} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{\cancel k+1+n-\cancel k}{(k+1)(n-k)}=\frac{n+1}{(k+1)(n-k)} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{n+1}{(k+1)(n-k)}=\frac{n+1}{(k+1)(n-k)}[/tex],
с което тъждеството е доказано.

[ub40]

благодаря за отговора ти, но не разбирам как се променят знаменателите на втория ред
[tex]\frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{\cancel {n!}}{\cancel {k!}(n-k)\cancel {(n-k-1)!}}+\frac{\cancel {n!}}{(k+1)\cancel {k!}\cancel {(n-k-1)!}}=\frac{(n+1)\cancel {n!}}{(k+1)\cancel {k!}(n-k) \cancel {(n-k-1)!}} \Leftrightarrow[/tex]

[Spider Iovkov]

[tex](n-k)!=(n-k-1)(n-k-2)...[/tex]
[tex](k+1)!=(k+1)(k+\cancel 1-\cancel 1)...=(k+1)k...[/tex]

[ub40]

Мерси много разбрах го, просто не ми беше ясно каква е точно функциятя на тези "удивителни"