Регистрирайте сеРегистрирайте се

Задача 24


 
   Форум за математика Форуми -> Задача на седмицата
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Tue Apr 28, 2009 2:57 pm    Заглавие: Задача 24

Да се намерят всички решения [tex](x,y,z,n)[/tex] в естествени числа на уравнението [tex]x^3+y^3+z^3=nx^2y^2z^2[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Tue Apr 28, 2009 7:33 pm    Заглавие:

Лесно се проверява, че (1,1,1,3) и (1,2,3,1) са решения и ако расместим местата на x,y,z пак е решение. Общо 7 решения. Подозирам, че други няма, но не мога да го докажа. Продължавам да го мисля.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
encho888
Начинаещ


Регистриран на: 14 May 2009
Мнения: 1


МнениеПуснато на: Thu May 14, 2009 1:07 am    Заглавие:

Решенията са:
x=1;y=1;z=1;n=3;
x=1;y=2;z=3;n=1;
x=1;y=3;z=2;n=1;
x=2;y=1;z=3;n=1;
x=2;y=3;z=1;n=1;
x=3;y=1;z=2;n=1;
x=3;y=2;z=1;n=1;

Това са решенията. Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
nikko1
Напреднал


Регистриран на: 23 Nov 2008
Мнения: 422

Репутация: 61.8
гласове: 36

МнениеПуснато на: Thu May 14, 2009 9:10 am    Заглавие:

encho888 написа:
Решенията са:
x=1;y=1;z=1;n=3;
x=1;y=2;z=3;n=1;
x=1;y=3;z=2;n=1;
x=2;y=1;z=3;n=1;
x=2;y=3;z=1;n=1;
x=3;y=1;z=2;n=1;
x=3;y=2;z=1;n=1;

Това са решенията. Smile

Това евентуално може да са отговори, а решението е нещо съвсем друго. То представлява последователни математически правилни изводи, чрез които от условието се стига до гореспоменатите "отговори".
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Vladi_mnt
Редовен


Регистриран на: 17 Apr 2009
Мнения: 113

Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3
гласове: 5

МнениеПуснато на: Sat May 16, 2009 8:06 am    Заглавие: Re: Задача 24

Николай.Каракехайов написа:
Да се намерят всички решения [tex](x,y,z,n)[/tex] в естествени числа на уравнението [tex]x^3+y^3+z^3=nx^2y^2z^2[/tex].

Ами, според текста / и мен Very Happy / се търсят отговорите на това уравнение, и все пак, наистина трябва доказателството им, т.нар. "решение".
P.S. Карате ме да седна да помисля върху тая задачка и да не стигна доникъде Very HappyVery Happy Laughing Embarassed
P.S.P.S. Нз за вас, обаче според отговорите x+y+z [tex]\equiv [/tex] n (mod 5), въпреки че и аз нз за какво може да ни послужи сега...
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Tzvetan_tzvetanov
Начинаещ


Регистриран на: 17 Jan 2009
Мнения: 52
Местожителство: Плевен
Репутация: 5.2Репутация: 5.2Репутация: 5.2Репутация: 5.2Репутация: 5.2
гласове: 2

МнениеПуснато на: Sat May 16, 2009 8:50 am    Заглавие:

може би ше изтриете този коментар но защо не пускате задача на седмицата и за по-малките
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Vladi_mnt
Редовен


Регистриран на: 17 Apr 2009
Мнения: 113

Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3
гласове: 5

МнениеПуснато на: Sat May 16, 2009 9:17 am    Заглавие:

Това, което направих за десет минути е, да докажа, че ако x=y=z, то x=1 и n=3. Ще започна малко с разлагане на уравнението:
x3+y3+z3 = nx2y2z2
Изваждаме от двете страни 3xyz и прилагаме x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2-(xy+yz+xz)):
=(x+y+z)(x2+y2+z2-(xy+yz+xz))=xyz(nxyz-3)
Умножаваме двете страни по 2 и вмъкваме двойката вляво, във втората скоба:
=(x+y+z)(2x2+2y2+2z2-(2xy+2yz+2xz))=2xyz(nxyz-3)
Вляво, вторите скоби, предполагам всички виждате формулите, които се получават:
(x+y+z)( (x-y)2 + (y-z)2 + (x-z)2 )=2xyz(nxyz-3)
Понеже няма как и двете страни на уравнението да са отрицателни, то ще разгледам случай да са равни на нула или по-големи от нула:

1сл. (x+y+z)( (x-y)2 + (y-z)2 + (x-z)2 )=2xyz(nxyz-3) = 0 <=> nxyz-3 = (x-y)2 + (y-z)2 + (x-z)2 = 0, защото n, x, y, z са ест. числа;
(x-y)2 + (y-z)2 + (x-z)2 = 0 <=> x=y=z =>
nx3-3=0; n,x са естествени числа => x3<=3; x=1 и n=3.
Така получихме тройката (x,y,z,n)=(1,1,1,3) като решение

2сл. А за него си нямам и идея...
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Mon May 18, 2009 4:49 pm    Заглавие:

Tzvetan_tzvetanov написа:
може би ше изтриете този коментар но защо не пускате задача на седмицата и за по-малките
Просто няма кой да я пусне...
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Задача на седмицата Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.