да се намерят локалните екстремуми на функцията

[Rubysoul]

[tex]f(x)=3x^4-4x^3+6x^2-12x+1[/tex]
[tex]f'(x)=12x^3-12x^2+12x-12[/tex][tex]=12(x^3-x^2+x-1)[/tex]
[tex]g(x)=x^3-x^2+x-1[/tex]
[tex]g'(x)=3x^2-2x+1[/tex]
[tex]D=4-12<0 => g(x)[/tex] расте от [tex](-\infty ;+\infty )[/tex] [tex] => f(x)[/tex] приема всяка стойност от [tex](-\infty ;+\infty )[/tex] точно по веднъж
и от тук на там какво да правя ще ми расясните ли ? по начина по който съм тръгнал какво да правя на там ? и защо х=0 не е решение ?

[Реклама]

[_sssss]

на f'(x) пред x² има минус.
f'(1)=0

[Rubysoul]

e тук докато съм го писал се е получило ама би ли го разписал

[ганка симеонова]

Отплесваш се. Разложи първата производна на множители и намери корените и екстремните точки.

[Rubysoul]

е не в смисъл защото ми казаха и че така може да се реши и за това питам

[Spider Iovkov]

[tex]f(x)=3x^4-4x^3+6x^2-12x+1 \Rightarrow f'(x)=3(x^4)'-4(x^3)'+6(x^2)'-12x' \Leftrightarrow f'(x)=12(x^3-x^2+x-1)[/tex]
За да установим интервалите на монотонност (къде функцията расте и къде намалява), както и екстремумите, решаваме съответно:
[tex]*\, f'(x)>0 \Leftrightarrow 12[x^2(x-1)+(x-1)]>0 \Leftrightarrow (x-1)(x^2+1)>0 \Leftrightarrow x-1>0 \Leftrightarrow x>1 \Rightarrow f(x)\nearrow[/tex]
[tex]*\, f'(x)<0 \Leftrightarrow x<1 \Rightarrow f(x)\searrow[/tex].
В точката [tex]x_{0}=1[/tex] първата производна сменя знака си от [tex]-[/tex] в [tex]+[/tex] съответно в интервалите [tex](-\infty;1)[/tex] и [tex](1;+\infty)[/tex]. Тогава [tex]x_{0}=1[/tex] е точка на екстремум, и то на минимум:
[tex]f'(x)=0 \Leftrightarrow x=1 \Rightarrow f(1)=f_{\min}=-6[/tex].
Втората производна на функцията е [tex]f''(x)=36x^2-24x+12[/tex]. От двете неравенства [tex]f''(x)>0[/tex] и [tex]f''(x)<0[/tex] се определят последователно изпъкналост и вдлъбнатост. Тъй като за всяко [tex]x\in R[/tex] е изпълнено [tex]f''(x)>0[/tex] (защото [tex]a_{0}=36,a_{0}>0, b^2-4a_{0}c<0[/tex]), то дадената функция [tex]f(x)[/tex] е изпъкнала в цялата си дефиниционна област, в случая [tex]x\in (-\infty;+\infty)[/tex].