Четири точки

[inimitably]

Нека е даден ▲ABC.Нека D , E и F са допирните точки на вписаната в ▲ABC окръжност съответно със страните AB , BC и AC. Избрана е вътрешна точка X в ▲ABC такава , че вписаната в ▲XAB окръжност се допира до XA , XB и AB съответно в Z , Y и D. Докажете , че точките F , Z , Y и E лежат на една окръжност.

[Реклама]

[ганка симеонова]

Ще ползваме стандартните означения за ъглите на [tex]\Delta ABC [/tex]. Означаваме [tex]\angle FAZ=x; \angle YBE=y [/tex]
[tex]\Delta FAZ[/tex]- равнобедрен=>[tex]AFZ=90^\circ -\frac{x}{ 2} [/tex][tex]\Delta FCE[/tex]-равнобедрен=>[tex]\angle CFE=90^\circ -\frac{\gamma }{ 2} =>\angle ZFE=\frac{x+\gamma }{2 } [/tex]....(1)
[tex]\Delta YBE[/tex]-равнобедрен=>[tex]\angle EYB=90^\circ -\frac{y}{ 2}[/tex][tex]\Delta ZXY[/tex]-равнобедрен=>[tex]\angle XYZ=90^\circ -\frac{x+y+\gamma }{2 } ; \angle XYE=90^\circ +\frac{y}{2 } =>\angle ZYE=180^\circ -\frac{x+\gamma }{2 } [/tex]....(2)
От (1) и (2)=>[tex]FZYE[/tex]-вписан четириъгълник.