Две задачки

[kpackapgo]

докажете че ако :

a)

[tex] a \in Z [/tex] и (a,35)=1, то числото [tex] A=(a^{4}-1)(a^{4}+15a^{2}+1) [/tex] е кратно на 35

b) числото [tex] 2a^{3} - 3a^{2}b + 2b^{3} [/tex] се дели на 5, то a и b също се делят на 5


Ако някой сподели решенията ще съм му много благодарен !

[Реклама]

[nikko1]

Ами ще споделя, ама само насоки, не и решения.

а) Разложи 35 на прости множители и за всеки от тях докажи, че дели A. Можеш да приложи теоремата на Ойлер Ферма за единия от множителите в А. За другия става с една проста таблица като тази в която пишеш остатъците при деление с 7 (без нула, все пак a не се дели на 7). Попълнил съм я за едно. Останалото попълни сам. Гледаш последните два стълба и във всеки ред трябва да получиш поне една нула в тях. Дори понеже смяташ с остатъци по модул 7 можеш да не смяташ [tex]a^4+15a^2+1[/tex], а [tex]a^4+a^2+1[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline&a^4&a^2&a^4+a^2+1&a^4-1\\\hline1&1&1&3&0\\\hline2&&&&\\\hline3&&&&\\\hline4&&&&\\\hline5&&&&\\\hline6&&&&\\\hline\end{array}[/tex]
б) Вероятно не най-красивото решение.
[tex]2a^{3} - 3a^{2}b + 2b^{3}\equiv 2a^{3} +2a^{2}b + 2b^{3}=2(a^3+a^2b+b^3)\equiv 0(\text{mod}\,5)[/tex] и съкращавайки на 2 имаш, че 5 дели [tex]a^3+a^2b+b^3[/tex].
Rазгледай остатъците на a и b числа по модул 5 (общо 25 случая) и съответно колко дава горния израз. Оказва се, че 5 дели [tex]a^3+a^2b+b^3[/tex] само когато и а и b дават остатък 0 при делене с 5, т.е. се делят на 5.

[martin.nikolov]

Ne e nujno da se praviat tolkova proverki.

Za purvata (a^4-1)(a^4+a^2+1)=a^8+a^6-a^2-1, koeto e 0 po modul 7, sledva ot Euler-Fermat.

Za vtorata, imash che a^3+a^2b+b^3=0 po modul 5. Ako b ne se deli na 5, to b e obratimo po modul 5 ikato razdelish na b^3 i polojesh a/b=x se poluchava x^3+x^2+1=0 po modul 5. Koeto lesno se proveriava che ne e vuzmojno, samo 5 proverki, a ne 25.

[kpackapgo]

Благодаря Bи много !

[Пафнутий]

[martin.nikolov]