да се намери производната

[Rubysoul]

[tex]f(x)=\frac{a^3\sqrt{3} }{sin^2x.cosx }[/tex]

[Реклама]

[Spider Iovkov]

[tex]f(x)=\frac{a^3\sqrt{3}}{sin^2 x cos x}[/tex]
Използваме правилото за диференциране на частно:
[tex]f(x)=\frac{u}{v}, v\neq 0 \Rightarrow f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}[/tex].
В такъв случай за производната получаваме:
[tex]f'(x)=\frac{(a^3\sqrt{3})' sin^2 x cos x - a^3\sqrt{3} ( sin^2 x cos x)'}{sin^4 x cos^2 x}, sin x \neq 0, cos x \neq 0[/tex].
Пресмятаме:
[tex](a^3\sqrt{3})'=\sqrt{3} (a^3)'=\sqrt{3}.3.a^2 \Leftrightarrow (a^3\sqrt{3})'=3\sqrt{3}a^2;[/tex]
[tex](sin^2 x cos x)'=(sin^2x)' cos x + sin^2x (cos x)'=2 sin x cos x (sin x)' +sin^2 x (cos x)' \Leftrightarrow (sin^2 x cos x)'=2 sin x cos^2 x - sin^3 x[/tex].
Сега заместваме във формулата и достигаме до
[tex]f'(x)=\frac{3\sqrt{3}a^2 sin^2 x cos x -a^3\sqrt{3}(2 sin x cos^2 x - sin^3 x)}{sin^4 x cos^2 x} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow f'(x)=\frac{3\sqrt{3}a^2 sin^2 x cos x - 2a^3 \sqrt{3} sin x cos^2 x + a^3\sqrt{3} sin^3 x}{sin^4 x cos^2 x} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow f'(x)=\frac{3\sqrt{3}a^2 sin x cos x - 2a^3\sqrt{3} cos^2 x +a^3 \sqrt{3} sin^2 x}{sin^3 x cos^2 x}[/tex].
Тук прилагаме следните правила за намиране на производна:
[tex]f(x)=Cx, C \ - \ const \Rightarrow f'(x)=(Cx)'=Cx';[/tex]
[tex]f(x)=uv \Rightarrow f'(x)=(uv)'=u'v+uv'[/tex],
като първото е частен случай на второто, когато [tex]u=C \Rightarrow u'=C'=0 \Rightarrow f'(x)=uv'=Cv'[/tex].