Задачи по теория на числата

[nat]

1.Да се докаже,че за всяко естествено число n числото:

а) аn=n^6-3n^5+6n^4-7n^3+5n^2-2n се дели на 24

б) an=5^(2n+1) + 3^(n+2) * 2^(n-1) се дели на 19


2.Докажете,че ако:

а) а принадлежи на Z и (а,35)=1,то числото А=(a^4-1)(a^4+15a^2+1) e кратно на 35

б) числото 2а^3-3a^2*b+2b^3 се дели на 5,то а и b също се делят на 5.


3.Решете в цели числа уравнението 16x+26y=318

4.Нека R e пръстен с единица.В R дефинираме операции събиране и умножение по формулите:
а+b=а+b-1 ; a.b=a+b-ab

Покажете,че е R е пръстен и по отношение на така дефинираните операции.

[Реклама]

[nikko1]

Разчитам 3-та:
Решете уравнението в цели числа
[tex]16x+26y=318[/tex]

Можем да съкратим на 8 двете страни, след което изразяваме [tex]x=\frac{-13y+159}{8}=-2y+20+\frac{3y-1}{8}[/tex] в лявата част имаме цяло число, следователно и [tex]u=\frac{3y-1}{8}[/tex] е цяло.
Изразяваме [tex]3y=8u+1[/tex] или [tex]y=\frac{8u+1}{3}=3u+\frac{-u+1}{3}[/tex] сега [tex]\frac{-u+1}{3}[/tex] е цяло. Полагаме [tex]-v=\frac{-u+1}{3}[/tex] и трябва да намерим x и y чрез v. [tex]u=3v+1,\,y=3u-v=8v+3,\,x=-2y+20+u=-16v-6+20+3v+1=-13v+15.[/tex]
Така решението е [tex]x=-13v+15,\,y=8v+3,[/tex] където v е произволно цяло число.

[nat]

Благодаря ти!!!

[martin.nikolov]

Chetwurtata e direktna proverka na aksiomite. Tretata sa ti ia reshili. Vtorata toj ti ia e reshil v druga tema. Purvata se reshava po sushtia nachin. Zada dokajesh che se deli na 24 purvo dokazvash che se deli na 3. Vzimash po modul 3 i porverqvash. Posle che se deli na 8. Vzimash po modul 8 i zabeliazvash che izraza se razlaga kato n(n+1)(n+2)(n+3)(n^2+n+1). Purvite cheteri mnojitelia sa cheteri posledovatelni chisla i sledovatelno edno ot tiah se deli na 2 a drugo na 4, obshto na 8. Za vtorata chast zapisvash go kato 125*25^{n-1}+27*6^{n-1}. Po modul 19 imash che 25=6 i izraza e 0 t.e. deli se na 19.

[Пафнутий]

Третата, разбира се, може и да се реши и по алгоритъма на Евклид