Регистрирайте сеРегистрирайте се

Областен кръг по математика - 25.04.2009

Иди на страница 1, 2, 3, 4, 5  Следваща
 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Is it black or white?
Напреднал


Регистриран на: 03 Jan 2009
Мнения: 393
Местожителство: Силистра ПМГ
Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 12:27 pm    Заглавие: Областен кръг по математика - 25.04.2009

12 клас:
Задача 1. Да се реши уравнението:

[tex]3x^{4}-4x^{3}-12x^{2}+16\frac{4^{x-1}+6}{2^{x}+1}=0 [/tex]

Задача 2. В кръг с радиус 1 са разположение четири триъгълника със сума на лицата 3. Да се докаже, че два от тях имат обща вътрешна точка.

Задача 3. Да се намерят всички реални числа [tex]a[/tex], за които:
a) съществува фукнция [tex]f:R->R[/tex] такава, че [tex]f(0)=a [/tex] и [tex]f(f(x))=x^{2009}[/tex] за всяко [tex] x\in R[/tex]
б) съществува непрекъсната функция със свойствата от а)

Първа я реших, тя беше лесна, втора идеята ми незнам дали е вярна, но и тя що-годе бива, но трета изобщо не я писах, идеи за трета имате ли?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
mkmarinov
Напреднал


Регистриран на: 08 Nov 2008
Мнения: 358
Местожителство: Враца
Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 1:17 pm    Заглавие:

1. Да се реши неравенството [tex]\frac{x+a}{\sqrt{x^2+b^2}}=\frac{x+b}{\sqrt{x^2+b^2}}[/tex], където a>b>0.
2. Даден е успоредник ABCD. Права, минаваща през С, пресича BD, AD и продължението на АВ в точки M,E,F. Да се докаже, че AM e допирателна към описаната около триъгълник AEF окръжност тогава и само тогава когато ABCD е ромб.
3. За кои естествени стойности на n равенството е тъждество:
[tex](x+y)^{2n+1}-x^{2n+1}-y^{2n+1}=(2n+1)xy(x+y)(x^2+xy+y^2)^{n-1}[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
adrenal1n
Начинаещ


Регистриран на: 17 Sep 2007
Мнения: 19

Репутация: 8.1Репутация: 8.1Репутация: 8.1Репутация: 8.1Репутация: 8.1Репутация: 8.1Репутация: 8.1Репутация: 8.1

МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 1:26 pm    Заглавие:

mkmarinov написа:
1. Да се реши неравенството [tex]\frac{x+a}{\sqrt{x^2+b^2}}=\frac{x+b}{\sqrt{x^2+b^2}}[/tex], където a>b>0.
2. Даден е успоредник ABCD. Права, минаваща през С, пресича BD, AD и продължението на АВ в точки M,E,F. Да се докаже, че AM e допирателна към описаната около триъгълник AEF окръжност тогава и само тогава когато ABCD е ромб.
3. За кои естествени стойности на n равенството е тъждество:
[tex](x+y)^{2n+1}-x^{2n+1}-y^{2n+1}=(2n+1)xy(x+y)(x^2+xy+y^2)^{n-1}[/tex]

10 клас Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Damn it!
Начинаещ


Регистриран на: 15 Feb 2009
Мнения: 9
Местожителство: Русе
Репутация: 1.5
гласове: 1

МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 2:23 pm    Заглавие:



Aбе на трета задача 'отсечките' могат ли да бъдат страните или само диагонали. 'Щото ако е само диагонали, задачата е ясна и ми се струва прекалено елементарна. А ако могат да са страни, ако ги построим от един и същи връх към останалите, практически погледнато, не се пресичат и има противоречие с това, което трябва да докажем. Ако се приеме, че построени по този начин, отсечките се броят за пресичащи се, излиза няк'во очевидно, че няма как да се наредят всички 15 дължини така, че да не се пресичат.

Иначе на първа получих единствено решение (-2;-2).
На втора [tex]1:\sqrt{2} [/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 2:34 pm    Заглавие:

Под пресичане се има впредвид, че не трябва да има 2 отсечки, излизащи от 1 връх. За 2-ра още един фр е получил толкова, обаче при равностранен това не е вярно... Даже не съм сигурен, че съотношението е константа, защото при равнобедрен съотношението е равно на [tex]\frac{AC}{AB}[/tex]
ПП 3 часа мислех, че е равнобедрен [tex]\Delta ABC[/tex] и доказах само, че L e среда на BC(дъгата), за 3та написах само, че са има само 15 възможни дължини, защото ако ги означим върховете последователно с [tex]A_{1},...,A_{30}[/tex], то отсечките [tex]A_{i}A_{i+j}=A_{i}A_{i-j}[/tex]. За 1ва и аз така съм получил. Да се надяваме, че утре ще има поне 1 диофантово най-накрая...
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Damn it!
Начинаещ


Регистриран на: 15 Feb 2009
Мнения: 9
Местожителство: Русе
Репутация: 1.5
гласове: 1

МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 3:14 pm    Заглавие:

На мен ми излиза равнобедрен правоъгълен о.О И БИ следвало да е константа, след като не са дадени дължини a, b и c например, с които да се изрази.
Ако не ме домързи, ще си напиша решението и ще го пусна.
А на трета, в крайна сметка, може ли да са страни или само диагонали?
Адски неизпипано и блудкаво ми звучи задачата...
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 3:23 pm    Заглавие:

Е много ясно, че може и страни, и диагонали да са...
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
pepsi_kola
Начинаещ


Регистриран на: 06 Apr 2009
Мнения: 7


МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 3:32 pm    Заглавие:

може ли някой да ми каже как се решават 2б и 3 Smile


13.jpg
 Description:
 Големина на файла:  59.3 KB
 Видяна:  5604 пъти(s)

13.jpg


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Damn it!
Начинаещ


Регистриран на: 15 Feb 2009
Мнения: 9
Местожителство: Русе
Репутация: 1.5
гласове: 1

МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 3:39 pm    Заглавие:

stanislav atanasov написа:
Е много ясно, че може и страни, и диагонали да са...

Бла xD
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
naitsirk
Напреднал


Регистриран на: 03 Jul 2008
Мнения: 295
Местожителство: Казанлък
Репутация: 57.7
гласове: 34

МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 3:57 pm    Заглавие:

pepsi_kola написа:
може ли някой да ми каже как се решават 2б и 3 Smile

По втора б) използваш доказаното в а). Разписваш си произведенията от радиусите и ги приравняваш след това изразяваш периметрите на 2-та триъгълника отново ги приравняваш и ще видиш, че равенствата са еквивалентни Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 4:06 pm    Заглавие:

naitsirk написа:
По втора б) използваш доказаното в а). Разписваш си произведенията от радиусите и ги приравняваш

След като ги приравниш получаваш sin[(a+b)/2]*sin[(a+c)/2]*sin[(b+c)/2]=...другите sin
където а б и с са ти ъгли на тоя триъгълник по средата, а от другата страна имаш същото нещо, само че със ъглите от другия триъгълник.
Сега трябва да изразиш това произведения като сума ¼(sina+sinb+sinc +1)...малко тригонометрия Razz след което изразяваш синусите чрез R и страните на триъгълника и става равенство Wink
3-та май май не я реших Sad
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
naitsirk
Напреднал


Регистриран на: 03 Jul 2008
Мнения: 295
Местожителство: Казанлък
Репутация: 57.7
гласове: 34

МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 4:13 pm    Заглавие:

martosss написа:

3-та май май не я реших Sad

И аз май съм с 1 и 2-ра. Което ме сеща, martosss, на 1-ва какво получаваш
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 4:20 pm    Заглавие:

не ми се мисли, че ако съм объркал нещо няма да ми е никак хубаво Laughing
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
vel.angelov
Редовен


Регистриран на: 30 Apr 2008
Мнения: 123

Репутация: 12.6
гласове: 1

МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 4:20 pm    Заглавие:

Е то щом 2 а) е да докажем тъждеството става ясно че ще го използваме по нататък, но напишете решение с чертеж че аз малко се омотах с тези ъгли и неможах да я реша.
А за първа получавам при [tex]a\in (-\infty ;-\frac{1}{2 } )[/tex] 1 решение x=....
При [tex]a\in [-\frac{1}{2 };+\infty )[/tex] ур. н.р.к.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 4:22 pm    Заглавие:

vel.angelov написа:
Е то щом 2 а) е да докажем тъждеството става ясно че ще го използваме по нататък, но напишете решение с чертеж че аз малко се омотах с тези ъгли и неможах да я реша.
А за първа получавам при [tex]a\in (-\infty ;-\frac{1}{2 } )[/tex] 1 решение x=....
При [tex]a\in [-\frac{1}{2 };+\infty )[/tex] ур. н.р.к.

същото получавам, стискай палци да е вярно Laughing
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
naitsirk
Напреднал


Регистриран на: 03 Jul 2008
Мнения: 295
Местожителство: Казанлък
Репутация: 57.7
гласове: 34

МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 4:22 pm    Заглавие:

на 1-ва и аз получавам толкова, а по 2-ра мога довечера да ти напиша решение ако не е проблем Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
pepsi_kola
Начинаещ


Регистриран на: 06 Apr 2009
Мнения: 7


МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 4:27 pm    Заглавие:

и аз получавам толкоз на 1 Smile ,на 2б стигнах до някво равенство между синусите от половинките на ъглите ма обърках сметките по нататък...... Crying or Very sad може ли някой да пише на 3 решението
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 4:34 pm    Заглавие:

За 2б ме мързи да го напиша, щото решението ми само на б е 4 страници... смятай кво писане беше... в общи линии имаш [tex]r1r2r3=(4R)^3sin (\frac{a}{2})sin (\frac{b}{2}) sin (\frac{c}{2}) \prod_{i=1}^{6 }sin\varphi_i[/tex] където а б и с са ти големите ъгли , а фи-тата са ти малките ъгли на триъгълничетата, после изразяваш а, б и с с ъглите на тия вътрешните триъгълници и става [tex]sin (\frac{k+l}{2})sin(\frac{l+m}{2})sin(\frac{k+m}{2})[/tex], където k, l m са ти ъглите на един от вътрешните триъгълници.
Сега изразяваш това произведение като следния сбор ¼(sink+sinl+sinm+1) - нещо като тъждество.. малко(Laughing ) тригонометрия и излиза(трябва да съобразиш, че k+l+m=180) това беше моето решение... не казвам че е красиво ама си е мое (proud)

същото се получава за r4r5r6, само че вместо a b c имаш други ъгли, които се изразяват чрез ъглите на другия вътрешен триъгълник... сложна работа дано някой да ме разбере Smile
в крайна сметка остават само тия синуси - sinasinbsinc=sina1sinb1sinc1 и като вкараш тъждеството и изразиш сбора от синусите чрез страните на вътрешните триъгълници(синусова теорема) и периметърът излиза
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 5:03 pm    Заглавие:

12 клас.
1. единствено решение x=2;
2. направих произволен вписан четириъгълник. S max му е при d1=d2=2r=2; sinθ=1. Smax < 3 => триъгълниците някак си трябва да се застъпват(ако това се искаше да докажем). Ама няма да е така. Laughing
3. само я прочетох, не съм и пробвала да мисля
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Bgtop100
Начинаещ


Регистриран на: 07 Jan 2009
Мнения: 6

Репутация: 1.9
гласове: 1

МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 5:09 pm    Заглавие:

За 3-та на 11 клас аз вижте как я реших... малко е смешно и непохватно, ама друго не можах да измисля Embarassed
Нека n=6, следователно имаме 6 човека, седящи в правилен 6-ъгълник. И всеки има право да седи срещу другия (тоест диаметрално срещу него) точно по 1 път. Означаваме си хората с човек номер 1,2,3,4,5,6 и почваме да си ги комбинираме:
1сл. 1 с 4, 2 с 5, 3 със 6
2сл. 1 - 6, 2 - 4, 3 - 5
3сл. 1 - 5, 2 - 6, 3 - 4
4сл. 1 - 2, 3 - 4, 5 - 6
5сл. Остана ни 1 - 3, 4 - 5 и 2 няма с кое друго да е освен със 6. Но те вече са седяли един срещу друг, следователно не е възможно даденото по условие. А въпросът е винаги ли е възможно, следователно щом сме доказали за n=6 не винаги е възможно
Laughing
Не знам на мен ми се струва смешно, но може пък и да ми го приемат Very Happy
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 5:23 pm    Заглавие:

Bgtop100 написа:
За 3-та на 11 клас аз вижте как я реших... малко е смешно и непохватно, ама друго не можах да измисля Embarassed
Нека n=6, следователно имаме 6 човека, седящи в правилен 6-ъгълник. И всеки има право да седи срещу другия (тоест диаметрално срещу него) точно по 1 път. Означаваме си хората с човек номер 1,2,3,4,5,6 и почваме да си ги комбинираме:
1сл. 1 с 4, 2 с 5, 3 със 6
2сл. 1 - 6, 2 - 4, 3 - 5
3сл. 1 - 5, 2 - 6, 3 - 4
4сл. 1 - 2, 3 - 4, 5 - 6
5сл. Остана ни 1 - 3, 4 - 5 и 2 няма с кое друго да е освен със 6. Но те вече са седяли един срещу друг, следователно не е възможно даденото по условие. А въпросът е винаги ли е възможно, следователно щом сме доказали за n=6 не винаги е възможно
Laughing
Не знам на мен ми се струва смешно, но може пък и да ми го приемат Very Happy

Ти си бил гениален бе Shocked Shocked Само дето имаш един малък дефект - Възможно е Laughing

123456
126345
125634
124563
134256
Като си представи, че си разрязал образно казано окръжността и трябва хората през 2 полета(1-ви и 4-ти; 2-ри и 5-ти; 3-ти и 6-ти) седят на диагонал.
А ми сега?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Bgtop100
Начинаещ


Регистриран на: 07 Jan 2009
Мнения: 6

Репутация: 1.9
гласове: 1

МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 5:54 pm    Заглавие:

Да като се замисля си прав Laughing Е поне се опитах Laughing
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Is it black or white?
Напреднал


Регистриран на: 03 Jan 2009
Мнения: 393
Местожителство: Силистра ПМГ
Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 5:58 pm    Заглавие:

seppen написа:
12 клас.
1. единствено решение x=2;
2. направих произволен вписан четириъгълник. S max му е при d1=d2=2r=2; sinθ=1. Smax < 3 => триъгълниците някак си трябва да се застъпват(ако това се искаше да докажем). Ама няма да е така. Laughing
3. само я прочетох, не съм и пробвала да мисля

За първа е толкова
За втора, долу е чертежа (малко съм скаран с програмите за чертане Laughing ), [tex]S_{max} ABC[/tex] е при АВС - равностранен, [tex]S_{max} BCD[/tex], [tex]S_{max} ABF[/tex], [tex]S_{max} ACE[/tex] е когато са равнобедрени, получава се един правилен шестоъгълник, намираме лицата на 4-те тригълника и ги събираме и получаваме са [tex]S_{max}{AFBDCE}=\frac{3\sqrt{3}}{2} [/tex], което е по-малко от 3, значи имат вътрешни точки <-- набързо казано по такава идея го решавам, вярна ли е?



2-ра.jpg
 Description:
 Големина на файла:  26.16 KB
 Видяна:  5368 пъти(s)

2-ра.jpg


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
naitsirk
Напреднал


Регистриран на: 03 Jul 2008
Мнения: 295
Местожителство: Казанлък
Репутация: 57.7
гласове: 34

МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 6:18 pm    Заглавие:


2-ра б) 11 клас!!!
Лесно се намира, че равенство на произведението на радиусите имаме, когато
[tex]sin( \frac{ \gamma +\varphi +\beta +\mu }{2 }).sin(\frac{\varphi +\gamma +\psi+\alpha }{2 }).sin(\frac{\psi+\alpha +\mu+\beta }{2 })=sin(\frac{\varphi +\beta +\mu+\alpha }{2 }).sin(\frac{\psi+\gamma +\varphi +\beta }{2}).sin(\frac{\gamma +\alpha +\psi+\mu}{2 }) [/tex].
Нека за [tex]\gamma +\varphi +\beta +\mu=x, \varphi +\gamma +\psi+\alpha=y, \psi+\alpha +\mu+\beta=z, \varphi +\beta +\mu+\alpha=t, \psi+\gamma +\varphi +\beta=m, \gamma +\alpha +\psi+\mu=n[/tex]
Тогава горното равенство има вида:
[tex]sin( \frac{ x }{2 }).sin(\frac{y }{2 }).sin(\frac{z }{2 })=sin(\frac{t }{2 }).sin(\frac{m }{2}).sin(\frac{n}{2 }) [/tex]. Очевидно [tex]x+y+z=360^\circ , t+m+n=360^\circ [/tex]. Тогава намираме, че горното равенство е еквивалентно на:
[tex]sinx+siny+sinz=sint+sinm+sinn[/tex].
Равенство на периметрите имаме, когато
[tex]sin(\beta +\mu)+sin(\gamma +\varphi )+sin(\alpha +\psi)=sin(\varphi +\beta )+sin(\gamma +\psi)+sin(\alpha +\mu)[/tex], но
[tex]\alpha +\beta +\gamma +\varphi +\mu+\psi=180^\circ [/tex] и като изразим [tex]\alpha +\beta[/tex], [tex]\gamma +\varphi [/tex], [tex]\mu+\psi[/tex], [tex]\varphi +\beta[/tex], [tex]\gamma +\psi[/tex], [tex]\alpha +\mu[/tex] от това равенство забелязваме, че те са:
[tex]\alpha +\beta=180^\circ -y[/tex], [tex]\gamma +\varphi=180^\circ -z [/tex], [tex]\mu+\psi=180^\circ -x[/tex], [tex]\varphi +\beta=180^\circ -n[/tex], [tex]\gamma +\psi=180^\circ -t[/tex], [tex]\alpha +\mu=180^\circ -m[/tex].
Имайки предвид това получаваме, че [tex]sin(\beta +\mu)+sin(\gamma +\varphi )+sin(\alpha +\psi)=sin(\varphi +\beta )+sin(\gamma +\psi)+sin(\alpha +\mu)[/tex] е еквивалентно на [tex]sinx+siny+sinz=sint+sinm+sinn[/tex], но това беше еквивалентно и на горното равенство. С което задачата е доказана Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 6:18 pm    Заглавие:

Bgtop100 написа:
Да като се замисля си прав Laughing Е поне се опитах Laughing


1 и 4; 2 и 5; 3 и 6
1 и 3; 2 и 4; 6 и 5
1 и 6; 2 и 3; 5 и 4
1 и 5; 2 и 6; 3 и 5
1 и 2; 3 и 5; 4 и 6

Archer написа:
За втора

Е ми аз като ти гледам решението ми се струва добро.. само бих се запитал какво ще стане, ако лицето на АВС е по-малко - тогава на останалите ще е по-голямо, така че сборът им пак(евентуално Laughing ) да стане 3 Laughing Надявам се квесторите да не се заядат за такова нещо Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
violin
Начинаещ


Регистриран на: 25 Apr 2009
Мнения: 5


МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 6:52 pm    Заглавие:

Цитат:
1. Да се реши неравенството \frac{x+a}{\sqrt{x^2+b^2}}=\frac{x+b}{\sqrt{x^2+b^2}}, където a>b>0.
2. Даден е успоредник ABCD. Права, минаваща през С, пресича BD, AD и продължението на АВ в точки M,E,F. Да се докаже, че AM e допирателна към описаната около триъгълник AEF окръжност тогава и само тогава когато ABCD е ромб.
3. За кои естествени стойности на n равенството е тъждество:
(x+y)^{2n+1}-x^{2n+1}-y^{2n+1}=(2n+1)xy(x+y)(x^2+xy+y^2)^{n-1}


Някой знае ли как се решават? Very Happy
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
mkmarinov
Напреднал


Регистриран на: 08 Nov 2008
Мнения: 358
Местожителство: Враца
Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 7:25 pm    Заглавие:

На десети клас първа се решава с изследване на случаи за x+a и x+b (двете са положителни; двете са отрицателни; x+a>0>x+b). Окончателно получавам [tex]x \in (-\infty; 0)\cup (\sqrt{ab}; \infty)[/tex].
Втора в едната посока (когато ABCD e ромб) с... еднакви триъгълници (AMD и CMD), от което ъгъл DAM=MAD=EFB=1/2(EB), т.е. DAM е периферен и AM e допирателна. Наобратно, предполагам се доказва пак с еднаквостта на тези триъгълници.
На трета получавам всяко n. Опитах чрез разлагане да получа от лявата страна дясната, но не знам колко съм бил убедителен. Предполагам че ще стане и с индукция.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
naitsirk
Напреднал


Регистриран на: 03 Jul 2008
Мнения: 295
Местожителство: Казанлък
Репутация: 57.7
гласове: 34

МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 8:07 pm    Заглавие:

3-та на 10 клас, n=1, 2, 3 струва ми се Rolling Eyes
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Is it black or white?
Напреднал


Регистриран на: 03 Jan 2009
Мнения: 393
Местожителство: Силистра ПМГ
Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 8:32 pm    Заглавие:

Само аз и seppen ли сме единствените дванадесетокласници?
Някакви идеи за 3-та? Razz
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
mkmarinov
Напреднал


Регистриран на: 08 Nov 2008
Мнения: 358
Местожителство: Враца
Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Sat Apr 25, 2009 9:02 pm    Заглавие:

[tex]a=0; f(x)=x^{\sqrt{2009}}[/tex] ?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Иди на страница 1, 2, 3, 4, 5  Следваща
Страница 1 от 5

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.