Ирационални уравнения

[estoyanovvd]

Решете уравненията:

[tex]1)[/tex] [tex] x^{2}+x-5=\sqrt[4]{2x-3} [/tex]

[tex]2)[/tex] [tex] x^{3}+2x-11=\sqrt[4]{2x-3}[/tex]

[tex]3)[/tex] [tex] 2x+\sqrt[7]{x-2}-3=\sqrt[4]{2x-3}[/tex]

[Реклама]

[mkmarinov]

1)
[tex]DM:x\ge \frac{3}{2}[/tex]
[tex]\sqrt[4]{2x-3}=u>0[/tex]
[tex]x^2+x-5-u=0[/tex]
[tex]D=21+4u >0[/tex]
[tex]x=\frac{-1+\sqrt{21+4u}}{2}[/tex]
[tex]2x=-1+\sqrt{21+4u}[/tex]
[tex]2x-3=-4+\sqrt{21+4u}[/tex]
[tex]u^4+4=\sqrt{21+4u}[/tex]
[tex]u^8+8u^4-4u-5=0[/tex]
u=1;
[tex](u-1)(u^7+u^6+u^5+u^4+9u^3+9u^2+9u+5)=0[/tex]
Множителя от седма степен не ни носи корени, тъй като е винаги положителен (u>0).
Окончателно: x=2.

(другите след вечеря ).

[NoThanks]

Друго за 1вата:
Имаме: [tex]x(x+1) - 5 = \sqrt[4]{2x-3}=\sqrt[4]{2(x+1)-5}[/tex] => [tex](x(x+1)-5) - \sqrt[4]{2(x+1)-5}=0[/tex] Вижда се, че х=2 е решение. Нека х<2. В такъв случай x(x+1)-5<0 и като от това извадим неотрицателния корен 4ти имаме лявата страна <0. Нека сега x>2. Ако докажем, че x(x+1)-5>1, то ще имаме, че [tex][x(x+1)-5]^4>2(x+1)-5[/tex] което означава пък, че лявата страна винаги ще е положителна. Имаме (?)x^2+x-6>0 за x>2. корените са -3 и 2 и при x>2 е изпълнено => ok

[NoThanks]

2) [tex]x^3+2x-11 = x^3 +2x-3 -8 = (x-2)(x^2+2x+4) +2x-3 = \sqrt[4]{2x-3}[/tex]
=>[tex](x-2)(x^2+2x+4) +2x-3 - \sqrt[4]{2x-3}=0[/tex] Явно x=2 пак е корен. Нека сега x>2. Тогава 2x-3>1 => 2x-3>[tex]\sqrt[4]{2x-3}[/tex] x-2>0 и x^2+2x+4>0 За всяко х. Значи изразът ни е >0. Нека x<2. Togava (2x-3)<[tex]\sqrt[4]{2x-3}[/tex] и (x^3-8 )<0 => лява страна <0 => н.р. и тук.Окончателно само х=2.

[NoThanks]

3) пак същата идея. След прехвърляне на всичко отлявo имаме: [tex]\sqrt[7]{x-2} +2x-3 - \sqrt[4]{2x-3}=0[/tex] Явно х=2 пак е корен. и понеже [tex]2x-3>\sqrt[4]{2x-3}[/tex] при х>2, то лявата страна е >0 за х>2 и <0 за x<2 => само х=2.

[Spider Iovkov]

[tex]2x-3+\sqrt[7]{x-2}=\sqrt[4]{2x-3} \Rightarrow {\cyr SO:}2x-3+\sqrt[7]{x-2}\ge 0[/tex]
[tex]\sqrt[4]{2x-3}=t, t\ge 0 \Rightarrow 2x-3=t^4 \Leftrightarrow x=\frac{t^4+3}{2}[/tex]
[tex]t^4+\sqrt[7]{\frac{t^4+3}{2}-2}=t \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow t^4+\sqrt[7]{\frac{t^4+3-4}{2}}=t \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \sqrt[7]{\frac{t^4-1}{2}}=t-t^4 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \sqrt[7]{\frac{(t^2+1)(t+1)(t-1)}{2}}=-t(t-1)(t^2+t+1) \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{(t^2+1)(t+1)(t-1)}{2}=[-t(t-1)(1+t+t^2)]^7 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (t^2+1)(t+1)(t-1)+2t^7(t-1)^7(1+t+t^2)^7=0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (t-1)[(t^2+1)(t+1)+2t^7(t-1)^6(1+t+t^7)]=0 \Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow t=1, t\in [0;+\infty) \Rightarrow x=\frac{1+3}{2}=2, x\in {\cyr SO}[/tex]

[mkmarinov]

[NoThanks]

[Николай Ставрев]

3) [tex]2x[/tex][tex]+[/tex][tex]\sqrt[7]{x-2}[/tex][tex]-[/tex][tex]3[/tex]=[tex]\sqrt[4]{2x-3}[/tex]
[tex]\sqrt[7]{x-2}[/tex][tex]=t[/tex]
[tex]\sqrt[4]{2x-3}[/tex][tex]=z[/tex]
[tex]z^{4}-z+t=0[/tex]
Схема на Хорнер [tex]=> t=0 ,z=1[/tex]
[tex]\sqrt[7]{x-2}[/tex][tex]=0[/tex]
[tex]x=2[/tex]
[tex]\sqrt[4]{2x-3} [/tex][tex]=1[/tex]
[tex]x=2[/tex]
И двете се удовлетворяват от [tex]x=2[/tex]

[NoThanks]

[Николай Ставрев]