Регистрирайте се
Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
ганка симеонова SUPER VIP
Регистриран на: 10 Jan 2008 Мнения: 5985 Местожителство: софия гласове: 298
|
Пуснато на: Thu Apr 23, 2009 3:50 pm Заглавие: Максимален обем |
|
|
Да се намери максималният обем на цилиндър, който се съдържа в куб с ръб а и оста му е върху диагонала на този куб. |
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
nikko1 Напреднал
Регистриран на: 23 Nov 2008 Мнения: 422
гласове: 36
|
Пуснато на: Thu Apr 23, 2009 4:33 pm Заглавие: |
|
|
Ще реша задачата за a=1 така ще си спестим едно мъкнене на a навсякъде. Ако искате резултат за произволно а просто умножете с a^3 моя.
Да поставим координатна система с начало в единия връх на куба. Тогава той ще има координати (0,0,0).
Другият връх е (1,1,1). Оста на цилиндъра е линията z=y=x.
Основата на цилиндъра пресича равнините Оxy, Оyz и Oxz в едни и същи координати. Нека това са (x,x,0), (x,0,x) и (0,x,x).
Тези точки съставят равностранен триъгълник. Тогава центъра на кръга - основа на цилиндъра е медицентър на този равностранен триъгълник и ще има координати средно аритметични от координатите на трите точки, т.е. (2x/3, 2x/3, 2x/3).
Радиусът на вписаната окръжност е разстоянието примерно от (x,x,0) до (2x/3, 2x/3, 2x/3) или [tex]r = x\sqrt{\frac{2}{3}}[/tex] и лицето на основата на цилиндъра е [tex]S= \frac{2\pi x^2}{3}.[/tex] Центърът на другата основа на цилиндъра има координати (1-2x/3, 1-2x/3, 1-2x/3) и съответно височината на цилинцъра е разстоятнието от (2x/3, 2x/3, 2x/3) до (1-2x/3, 1-2x/3, 1-2x/3) или [tex]l = (1 - 4\frac{x}{3})\sqrt{3}[/tex], съответно обемът е [tex]V(x)=S.l= \frac{2\pi x^2}{3}.(1 - 4\frac{x}{3})\sqrt{3}=2\pi\frac{\sqrt{3}}{3}(x^2-\frac{4}{3}x^3).[/tex]
Производната [tex]V'=2\pi\frac{\sqrt{3}}{3}(2x-4x^2)=0[/tex] и получаваме [tex]x=0[/tex] и [tex]x=\frac{1}{2}[/tex] и очевидно максимумът е
[tex]V_{max}=V(\frac{1}{2})=\pi\frac{\sqrt{3}}{18}.[/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
NoThanks Гост
|
Пуснато на: Thu Apr 23, 2009 4:40 pm Заглавие: |
|
|
nikko1 написа: |
Другият връх е (1,1,1). |
Едно [tex]\sqrt{2}[/tex] не трябва ли да има? |
|
Върнете се в началото |
|
|
nikko1 Напреднал
Регистриран на: 23 Nov 2008 Мнения: 422
гласове: 36
|
Пуснато на: Thu Apr 23, 2009 4:52 pm Заглавие: |
|
|
Не, мисля че няма да има . Все пак са координати. Нали разстоянието от срещупуложния връх на куба до координатните равнини си е дължината на ръба на куба a или както е при мен 1. |
|
Върнете се в началото |
|
|
NoThanks Гост
|
Пуснато на: Thu Apr 23, 2009 4:57 pm Заглавие: |
|
|
Прав си, извинявай |
|
Върнете се в началото |
|
|
r2d2 VIP
Регистриран на: 28 Feb 2007 Мнения: 1936 Местожителство: in the galaxy (Far Far Away) гласове: 179
|
|
Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми Не Можете да отговаряте на темите Не Можете да променяте съобщенията си Не Можете да изтривате съобщенията си Не Можете да гласувате в анкети Може да прикачвате файлове Може да сваляте файлове от този форум
|
|