Теорема на Стюарт

[Pinetop Smith]

Да се докаже, че ако точка М е произволна от страната АВ на тр. АВС, то

[tex]AM.BC^2 + BM.AC^2 = AM.BM.AB + AB.CM^2[/tex]

Без тригонометрия!

[Реклама]

[mousehack]

Използвам означенията от чертежа.
Нека построим височината [tex]CH[/tex].Можем да смятаме,че [tex]H\in MB[/tex].
Така ще получим,че [tex]MH=x , HB=m-x[/tex]
Сега от Питагоровата теорема съответно за триъгълници [tex]HBC[/tex] и [tex]AHC[/tex],получаваме:

[tex](m-x)^2+h^2=a^2 [/tex] и [tex](n+x)^2+h^2=b^2[/tex]
Разкриваме скобите:
[tex]m^2+x^2-2mx+h^2=a^2 /*n[/tex] и [tex]n^2+x^2+2nx+h^2=b^2 /*m[/tex]
[tex]m^2n+x^2n-2mnx+h^2n=a^2n[/tex] и [tex]n^2m+x^2m+2mnx+h^2m=b^2m[/tex]
Събираме двете уравнения и получаваме:
[tex]m^2n+n^2m-2mnx+2mnx+x^2m+x^2n+h^2n+h^2m=a^2n+b^2m[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (m+n)mn+m(x^2+h^2)+n(x^2+h^2)=a^2n+b^2m[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (m+n)mn+(m+n)(x^2+h^2)=a^2n+b^2m[/tex]
[tex]\Leftrightarrow AB.AM.BM+AB.CM^2=BC^2.AM+AC^2.BM[/tex]
С което теоремата е доказана.