| Предишната тема :: Следващата тема |
| Автор |
Съобщение |
mm_mimeto
Начинаещ
Регистриран на: 10 Mar 2009
Мнения: 18
  
|
 Пуснато на: Tue Apr 21, 2009 2:54 pm Заглавие: диференциални уравнения и троен интеграл |
|
|
1. Решете диференциалните уравнения:
а) xy'-2y-2x=0
b)[tex]y'' +y = 4e^{x}[/tex]
2.Решете интеграла: [tex] \int_{}^{ } \int_{}^{ } \int_{}^{ } (3x-4y)dxdydz[/tex]
3.Да се намери лицето на равнинна фигура ограничена от:
[tex] (x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}(x^{2}+y^{2}) [/tex] и
[tex]x^{2}+y^{2}=a^{2} [/tex] ako [tex]( x^{2}+y^{2}>a^{2})[/tex]
4.[tex]\int_{k}^{ } (x\frac{4}{ 3} +y\frac{4}{ 3} )ds[/tex]
k: x=acost ; y=asint
0≤t≤2∏
Някой ще може ли да ми помогне с тези задачи и ако може да ми ги обясни защото въобще не ги разбирам  ще съм ви много благодарна
Същалявам ако някоя от задачите не е за тази тема но не знам къде да ги сложа ако трябва ще ги преместя.
Благодаря ви предварително  |
|
| Върнете се в началото |
|
 |
Реклама
|
| Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
mm_mimeto
Начинаещ
Регистриран на: 10 Mar 2009
Мнения: 18
|
| Пуснато на: Tue Apr 21, 2009 3:03 pm Заглавие: |
|
|
На 2 зад. забравих да напиша границите на интегралите
Решете интеграла: [tex] \int_{0}^{1 } \int_{0}^{x } \int_{0}^{xy } (3x-4y)dxdydz[/tex] |
|
| Върнете се в началото |
|
|
Flame
Редовен
Регистриран на: 24 Mar 2009
Мнения: 213
Местожителство: София
гласове: 16
|
| Пуснато на: Tue Apr 28, 2009 5:12 pm Заглавие: Re: диференциални уравнения и троен интеграл |
|
|
| mm_mimeto написа: | 1. Решете диференциалните уравнения:
а) xy'-2y-2x=0
b)[tex]y'' +y = 4e^{x}[/tex] |
a)[tex]xy'-2y-2x=0[/tex]
Ами линейно ДУ
[tex]y'+(-\frac{2}{x})y=2[/tex]
Директното решение е:
[tex]y=e^{-\int_{}^{ } a(x)dx}*(\int_{}^{ } e^{\int_{}^{ } a(x)dx}*b(x)dx+C)[/tex]
И така:
[tex]a(x)=-\frac{2}{x} , b(x)=2[/tex] заместваме:
[tex]y=e^{-\int_{}^{ } -\frac{2}{x } dx}*(\int_{}^{ } e^{\int_{}^{ } -\frac{2}{x } dx}*2 dx+C)[/tex]
[tex]y=e^{2 ln{x}}*(\int_{}^{ } e^{-2 ln{x}}*2dx+C)[/tex]
[tex]y=e^{ln{x^{2}}}*(\int_{}^{ } e^{ln{x^{-2}}}*2dx+C)[/tex]
[tex]y=x^{2}*(2 \int_{}^{ } x^{-2}dx+C)[/tex]
[tex]y=x^{2}*(-\frac{2}{x }+C)[/tex]
[tex]y=-2 x+x^{2}C[/tex]
b)[tex]y'' +y = 4e^{x}[/tex]
Нехомогенно линейно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти.
Решението на характеристичното уравнение е:
[tex] k^2 + 1 = 0 -> k = \pm i -> y_1 = c_ 1 cos{x} + c_ 2 sin{x}[/tex]
Общото решение има вид:
[tex]y=y_1+y_2[/tex]
Където[tex] y_2[/tex] e частно решение и го търсим във вида:
[tex]y_2= A e^{x}[/tex], А е константа
(Сега, за да стане ясно как е избрано това частно решение и изобщо, прегледай подробно форум Диференциални уравнения или виж лекцийте )
Намираме:
[tex]y_2'= A e^{x}[/tex]
[tex]y_2''= A e^{x}[/tex]
И заместваме в първоначалното уравнение:
[tex]A e^{x} + A e^{x} = 4 e^{x}[/tex], делим на[tex] e^{x}[/tex], и получаваме:
[tex]2A = 4[/tex]
[tex]A=2[/tex]
От където:
[tex]y_2= 2 e^{x}[/tex]
И така:
[tex]y=y_1+y_2[/tex]
[tex]y= c_ 1 cos{x} + c_ 2 sin{x}+2 e^{x}[/tex]
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
mm_mimeto
Начинаещ
Регистриран на: 10 Mar 2009
Мнения: 18
|
| Пуснато на: Thu Apr 30, 2009 8:31 am Заглавие: |
|
|
много много благодаря златни сте  |
|
| Върнете се в началото |
|
|
Flame
Редовен
Регистриран на: 24 Mar 2009
Мнения: 213
Местожителство: София
гласове: 16
|
| Пуснато на: Thu Apr 30, 2009 3:49 pm Заглавие: Re: диференциални уравнения и троен интеграл |
|
|
| mm_mimeto написа: | 3.Да се намери лицето на равнинна фигура ограничена от:
[tex] (x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}(x^{2}+y^{2}) [/tex] и
[tex]x^{2}+y^{2}=a^{2} [/tex] ako [tex]( x^{2}+y^{2}>a^{2})[/tex]
|
Тази задача е супр проста и заслужава да се реши на един ред:
Търсеното лице е площ между две окръжности с общ център.
[tex]x^{2}+y^{2}= (sqrt{2}.a)^{2}[/tex]
[tex]x^{2}+y^{2}=a^{2}[/tex]
Централни окръжности с радиуси [tex]a[/tex] и [tex]\sqrt{2} a[/tex]
Търсеното лице е:
[tex]S=S_1-S_2= \pi (sqrt{2}.a)^{2}-\pi.a^{2}=\pi.a^{2}[/tex]
Тук трябва да се прави нещо друго. Смисълът на определения интеграл, както е известно е лице ограничено от подинтегралната функция, абцисата и границите, или:
[tex]S=\int_{a}^{b }F(x)dx[/tex]
За лицето на кръг с радиус a имаме:
[tex]F(x)=y=\sqrt{a^2-x^2} => S_2=2.\int_{-a}^{a}\sqrt{a^2-x^2}dx[/tex]
Решението е лесно с полагането [tex]x=a. sin{t}-> dx=a.cos{t}dt[/tex], за границите:[tex] [-\frac{\pi }{2 },\frac{\pi }{2} ][/tex], при тези условия се намира половината лице:
[tex]S_2=2\int_{-\frac{\pi }{2 }}^{ \frac{\pi }{2 }}\sqrt{a^2+a^2.sin^2{t}}. cos{t}dt =2\int_{-\frac{\pi }{2 }}^{\frac{\pi }{2 }} \sqrt{a^2+a^2.sin{t}^2}a.cos{t}dt= 2a^2\int_{-\frac{\pi }{2 }}^{\frac{\pi }{2 } } \sqrt{1+sin^2{t}}.cos{t}dt= 2a^2\int_{-\frac{\pi }{2 }}^{\frac{\pi }{2 }}cos^2{t}dt=2a^2\int_{-\frac{\pi }{2 }}^{\frac{\pi }{2 }}\frac{1}{2}.(1-cos{2 t}).dt=[/tex]
[tex]=a^2\int_{-\frac{\pi }{2 }}^{\frac{\pi }{2 }}.dt-a^2\int_{-\frac{\pi }{2 }}^{\frac{\pi }{2 }}cos{t}.dt =a^2.(\frac{\pi }{2 }-(-\frac{\pi }{2 }))-0=a^2.\pi [/tex]
Така за първия кръг, за второя с радиус [tex]\sqrt{2}.a [/tex], аналогично се получава [tex] S_1=2 a^2 \pi[/tex]
И окончателно:
[tex]S=S_1-S_2=2 a^2 \pi -a^2 \pi =a^2 \pi [/tex]
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
mm_mimeto
Начинаещ
Регистриран на: 10 Mar 2009
Мнения: 18
|
| Пуснато на: Fri May 01, 2009 1:41 pm Заглавие: |
|
|
| на мен ми е трудно да определям границите на определения интеграл и от там идват повечето затруднения с задачата.Много мерси за помоща трябва да почерпя вече |
|
| Върнете се в началото |
|
|
|
Меню
Регистрирайте се
