Метрични зависимости в правоъгълен триъгълник - задачи

[tedios]

Метрични зависимости в правоъгълен триъгълник

Задача 1: Катетите на правоъгълен триъгълник са 12 см и 16 см. Да се намерят медианите му.
Задача 2: Единият катет на правоъгълен триъгълник е 12 см, а проекцията му върху хипотенузата е 4 см. Да се намерят височината към хипотенузата и периметърът.
Задача 3: Проекциите на катетите върху хипотенузата в правоъгълен триъгълник са 3 см и 2 см. Да се намерят страните на триъгълника и височината към хипотенузата му.
Задача 4: Да се намерят катетите на правоъгълен триъгълник, чиято височина към хипотенузата е с 3 см по-голяма от едната от частите, на която тя разделя хипотенузата, и с 4 см по-малко от другата.
Задача 5: Ъглополовящата на острия ъгъл в правоъгълен триъгълник дели срещулежащия катет на части, равни на 5 см и 4 см. Да се намери хипотенузата.
Задача 6: Да се докаже, че ако единият катет на правоъгълен триъгълник е два пъти по-голям от другия, то едната от отсечките, на които се дели хипотенузата от височината към нея е четири пъти по-голяма от другата.

Благодаря предварително[/b]

[Реклама]

[baroveca]

За първа задача намери хипотенузата и от там по формулите [tex]m_a^2=b^2+(\frac{a}{2 })^2[/tex]

[tex]m_b^2=a^2+(\frac{b}{2 })^2[/tex]

[tex]m_c=\frac{1}{2 }*c [/tex] намери медианите

За втората задача използвай формулата [tex]a^2=a_1*c[/tex] и намери хипотенузата. След като имаш катет и хипотенуза намери и другия катет по Питагоровата теорема.След като намериш втория катет приложи формулата [tex]b^2=b_1*c[/tex]
намери [tex]b_1[/tex] и след това по формулата [tex]hc^2=a_1*b_1[/tex] намери височината.А параметъра намери като събереш двата катета и хипотенузата.

За третата задача използвай, че [tex]hc^2=a_1*b_1[/tex]
Тъй като имаш дадени [tex]a_1 , b_1[/tex] и хипотенузата намери катетите по формулата
[tex]a^2=a_1*c[/tex] i [tex]b^2=b_1*c[/tex]
Трябва да получиш
[tex]a^2=15,b^2=10,c^2=25,h_c^2=6[/tex]

За четвърта задача[tex]a_1=3+x ,b_1=4-x[/tex]
От това,че хипотенузата [tex]c=a_1*b_1[/tex] я намери.И от тук вече [tex]a^2=a_1*c ,b^2=b_1*c[/tex] и намери катетите.Според мен това е решението.Дано да не съм сгрешил някъде.

За петата задача ползвай,че катетът който се намира пред ъгъл,равен на 30(Ъглополовящата разделя острия ъгъл на две равни части) градуса то катета есрещу този ъгъл е половината от хипотенузата.Тъй като катета ти е дадет(4sm) то хипотенузата е два пъти по-голяма от него-8см.Така е и за втория катет(5см) и следва,че хипотенузата във втория триъгълник е 10см.
Тук използвай Питагорoва теорема и свойство на ъглополовяща и направи система.

[tedios]

[Flame]

За задача 4. Нека са дадени стандартни означения на правоъгълен триъгълник, тогава съставяме следната система уравнения:

[tex]\begin{array}{|l}h^2=m n\\m+n=c\\m+3=h\\n-4=h\end{array}[/tex]

където:
h - височина към c
c - хипотенуза
m и n - частите на които се разделя c от петата на височината.

[tex]\begin{array}{|l}c=25 \\m=9 \\n=16 \\h=12\end{array}[/tex]


И два пъти "Питагор" за катетите:

[tex]a=\sqrt{m^2+h^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15[/tex]
[tex]b=\sqrt{n^2+h^2}=\sqrt{16^2+12^2}=20[/tex]

Ето така е накратко.




п.п. Хей ivan_baroveca - не съм догедал че си дал вече указания, ....

[baroveca]

[baroveca]

Как намери [tex]m,n,c,h[/tex] ?

[Flame]

Предположих, че решението е целочислено и се оказа вярно.
При задаване на конкретни стойности на [tex]h\ge 5[/tex] веднага излизат m и n, и следва проверка
[tex]h^2=mn[/tex]. Не ми се наложи дълго да смятам при [tex]h=12[/tex] проверката излезе, а оттам и c.