Граница

[Apocalyp5e]

[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x+1}-(1+x)^{\frac{1}{x}}}{x}=?[/tex]

Добавям и изваждам е от числителя, но после не знам как да продължа (не искам с Лопитал).

[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x+1}-(1+x)^{\frac{1}{x}}}{x}= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x+1}-e}{x} + \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e-(1+x)^{\frac{1}{x}}}{x} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e(e^{x}-1)}{x} + \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e-(1+x)^{\frac{1}{x}}}{x} =e + \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e-(1+x)^{\frac{1}{x}}}{x}[/tex]

[Реклама]

[Пафнутий]

Ако не бъркам. [tex]\lim_{x\to 0}\frac{e-(1+x)^{\frac{1}{x}}}{x}=\lim_{x\to\infty} \frac{e-(1+\frac{1}{x})^x}{x}=0[/tex].

[Tinna]

Бъркаш. В знаменателя трябва да стане 1/х и се получава отново неопределеност от вида- 0/0. Освен това смени х с t.

[mkmarinov]

[tex]1/x=t[/tex]

[tex]t(e^{1+\frac{1}{t}}-(1+\frac{1}{t})^t)=t(e.e^{\frac{1}{t}}-e)=te(e^{\frac{1}{t}}-1)[/tex]
[tex]\frac{e.e^x-e}{x}=\frac{e^{1+x}-e^1}{x}[/tex], което при x->0 е стойността на производната на e^u в 1.
Лимита -> e.

(или пиша големи глупости).

[Tinna]

Допълнение към моя коментар-след полагане на 1/х=t се получават записите на stanislav atanasoov във втората граница/, но в знаменател е 1/t .

[Apocalyp5e]

Отговорът е [tex]\frac{e}{2}[/tex]

[Nona]

[tex]\lim_{x\to 0}\frac{e-(1+x)^{\frac{1}{x}}}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{-(1+x)^{\frac{1}{x}}\left(\frac{x}{1+x}-\ln(1+x)\right)}{x^2}=-e\lim_{x\to 0}\frac{\left(1-\frac{1}{1+x}-\ln(1+x)\right)}{x^2}=-e\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{(1+x)^2}-\frac{1}{1+x}}{2x}=-e\lim_{x\to 0}\frac{-x}{2x(1+x)^2}=-e\lim_{x\to 0}\frac{-1}{2(1+x)^2}=\frac{e}{2}[/tex]