ЗМС 1995

[v1rusman]

зад.11.3 (ЗМС, 1995) Да се реши в естествени числа уравнението:

[tex]1+5^x=2^y+2^z.5^t[/tex]

[Реклама]

[mkmarinov]

[tex]2^y\equiv 1 (mod 5) => y=4y_0[/tex]
[tex]1+5^x=2^{4y_0}+2^z.5^t[/tex]
Ако z > 1, имаме:
[tex]1+5^x\equiv 0 (mod 4)[/tex], което е невъзможно.
=> z=1.
[tex]1+5^x=2^{4y_0}+2.5^t[/tex]
Очевидно x>t.
Нека t>1. Сравняваме:
[tex]1+5^x=2^{4y_0}+2.5^t[/tex]
[tex]2^{4y_0}\equiv 1 (mod 25)[/tex], което е доста трудно. Следва, че t=1.
Сега, сравняваме по модул 100 (omgez)
[tex]1+5^x\equiv 26 (mod 100)[/tex]
=> [tex]2^{4y_0}+2.5\equiv 26 (mod 100)[/tex]
[tex]2^{4y_0-1}+5 \equiv 13 (mod 100)[/tex]
[tex]2^{4y_0-1} \equiv 8 (mod 100)[/tex]
Което го имаме при [tex]y_0\equiv 1 (mod 5)[/tex]
[tex]2^{2.2y_0}+3^2=5^x[/tex]
[tex]2^{2.2y_0}\equiv 5^x (mod 3)[/tex], но [tex]2^{2.2y_0}\equiv 1 (mod 3)[/tex]
=> [tex]x=2x_0[/tex]
[tex]2^{2.2y_0}+3^2=5^{2x_0}[/tex]
[tex]3^2 + (4^{y_0})^2 = (5^{x_0})^2[/tex]
Единствената питагорова тройка, която отговаря на тези условия, е [tex]3^2+4^2=5^2[/tex], при което x=2; y=4; z=1; t=1.

Окончателно: единствено решение е (2;4;1;1).

[nikko1]

[mkmarinov]

Моя грешка :/ .
Нека [tex]y_0\equiv 0 (mod 5) => y=20k[/tex]
[tex]1+5^x=2^{20k}+2.5^t[/tex]
От Ферма имаме
[tex]2^{20k}=(2^{10})^{2k}\equiv 1 (mod 11)[/tex]
=>
[tex]1+5^x\equiv 1+2.5^t (mod 11)[/tex]
[tex]5^x \equiv 2.5^t (mod 11)[/tex]
Което е възможно когато x=5t+4
[tex]5^{5t+4}\equiv 2.5^t (mod 11)[/tex]
[tex](5^{t+1})^4 \equiv 2 (mod 11)[/tex]
Но 2 не е квадратичен остатък по mod 11.
=> от този случай няма решения.