Най-малкото естествено число

[Saposto_MM]

Намерете най-малкото естесвено число, което не може да се представи във вида [tex]x^{3}-x^{2}y+y^{2}+x-y[/tex] за някои естествени x и y.
Задачата е от ПМТ 2007 за 9-ти клас, но смятам, че е достъпна за 8-мокласник.

[Реклама]

[martin.nikolov]

Лесно се вижда, че 0, 1, 2 се представят. Показваме, че 3 не се представя.

Ако [tex] x\ge y [/tex] представяме израза като [tex] (x-y)(x^2+1)+y^2 [/tex], което е сума на две неотрицателни числа. 3 се разлга като сума на неотрицателни числа само по два начина 3=3+0 или 3=2+1. Слева, че [tex] y^2 [/tex] е 0, 1, 2 или 3. Само първите две са възможни, следователно у=0 или 1. Заместваме с всяка от тези стойности в израза и се вижда, че не може да е равен на 3.

Ако [tex] x < y [/tex] представяме израза като [tex] x^3 + (y-x)(y-1) [/tex], което е пак сума на неотрицателни числа. По същя начин виждаме, че х=0 или 1. Заместваме и се вижда че израза не е равен на 3.

Тук съм приел 0 за естесвено число, ако под естесвени числа се разбира цели положителни числа, тогава става по-кратко, случайте с 0та се пропускат.