Регистрирайте сеРегистрирайте се

Най-малкото естествено число


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 5-8 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Saposto_MM
Напреднал


Регистриран на: 02 Apr 2007
Мнения: 383
Местожителство: Панагюрище
Репутация: 124.4
гласове: 67

МнениеПуснато на: Sat Apr 18, 2009 12:17 am    Заглавие: Най-малкото естествено число

Намерете най-малкото естесвено число, което не може да се представи във вида [tex]x^{3}-x^{2}y+y^{2}+x-y[/tex] за някои естествени x и y.
Задачата е от ПМТ 2007 за 9-ти клас, но смятам, че е достъпна за 8-мокласник.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Wed May 06, 2009 5:18 pm    Заглавие:

Лесно се вижда, че 0, 1, 2 се представят. Показваме, че 3 не се представя.

Ако [tex] x\ge y [/tex] представяме израза като [tex] (x-y)(x^2+1)+y^2 [/tex], което е сума на две неотрицателни числа. 3 се разлга като сума на неотрицателни числа само по два начина 3=3+0 или 3=2+1. Слева, че [tex] y^2 [/tex] е 0, 1, 2 или 3. Само първите две са възможни, следователно у=0 или 1. Заместваме с всяка от тези стойности в израза и се вижда, че не може да е равен на 3.

Ако [tex] x < y [/tex] представяме израза като [tex] x^3 + (y-x)(y-1) [/tex], което е пак сума на неотрицателни числа. По същя начин виждаме, че х=0 или 1. Заместваме и се вижда че израза не е равен на 3.

Тук съм приел 0 за естесвено число, ако под естесвени числа се разбира цели положителни числа, тогава става по-кратко, случайте с 0та се пропускат.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 5-8 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2015 math10.com.