Регистрирайте сеРегистрирайте се

Неравенство с abc = 1


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Fri Apr 17, 2009 10:28 pm    Заглавие: Неравенство с abc = 1

Нека a, b и c са положителни числа с произведение 1. Да се докаже, че [tex]a^2b + b^2c + c^2a\geq\sqrt {3(a^2 + b^2 + c^2)}[/tex].

Michael Rozenberg
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sat Apr 18, 2009 11:13 am    Заглавие:

[tex]a^2b+b^2c+c^2a\ge 3abc=3[/tex]
[tex]\N {1\ge a^2}[/tex]
[tex]\N {1\ge b^2}[/tex]
[tex]\N {1\ge c^2}[/tex]
От последните три имаме [tex]\N {3\ge (a^2+b^2+c^2)\Leftright 9\ge 3(a^2+b^2+c^2)\Leftright 3\ge \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}[/tex]
И сега получихме
[tex]\N {a^2b+b^2c+c^2a\ge 3abc=3\ge\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}[/tex] като равенство се достига при [tex]\N {a=b=c=1}[/tex].


Последната промяна е направена от martosss на Sat Apr 18, 2009 11:35 am; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
mkmarinov
Напреднал


Регистриран на: 08 Nov 2008
Мнения: 358
Местожителство: Враца
Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Sat Apr 18, 2009 11:28 am    Заглавие:

martosss написа:

[tex]1\ge a^2[/tex]
[tex]1\ge b^2[/tex]
[tex]1\ge c^2[/tex]

Това не знам откъде го извади. Какво ще кажеш за
[tex]a=\frac{29}{7}; b=\frac{7}{15}; c=\frac{15}{29}[/tex] Wink ?

Задачата за материал от кой клас е?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sat Apr 18, 2009 11:31 am    Заглавие:

оф.. знаех си че нещо не е както трябва.. прекалено лесно беше.. още ми се спи явно Embarassed
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
gsinekliev
Начинаещ


Регистриран на: 03 Jun 2006
Мнения: 62
Местожителство: Пазарджик
Репутация: 27.8Репутация: 27.8Репутация: 27.8
гласове: 5

МнениеПуснато на: Sat Apr 18, 2009 12:20 pm    Заглавие:

Първо ще докажем неравенството: [tex](\N{3\ge \sqrt{3(a^2+b^2 + c^2)}}[/tex]
[tex]a.b.c=1 \rightarrow a+b+c\ge 3[/tex]

Повдигаме това на квадрат и получаваме:
[tex]{a^2+b^2+c^2 +2ac+2bc+2ab\ge 9[/tex]
[tex]\N{a^2+b^2+c^2\le 9-2(ac+bc+ab)}[/tex]

От САСГ следва че[tex]\N {ac+bc+ab\ge 3abc=3}[/tex]
Следователно [tex]\N{a^2+b^2+c^2\le 9-2(ac+bc+ab)\le 3}[/tex]
От тук следва [tex]\N{3\ge \sqrt{3(a^2+b^2 + c^2)}}[/tex]

[tex]\N{a^2b + b^2c + ac^2\ge 3abc=3}[/tex](САСГ)
Но [tex]\N{3\ge \sqrt{3(a^2b + b^2c + ac^2)}}[/tex] следователно
[tex]\N{a^2b + b^2c + c^2a\ge \sqrt{3(a^2+b^2 + c^2)}}[/tex]

ПП. Сега видях че е грешно.


Последната промяна е направена от gsinekliev на Sat Apr 18, 2009 2:27 pm; мнението е било променяно общо 3 пъти
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sat Apr 18, 2009 12:36 pm    Заглавие:

ето втори опит Smile

[tex]\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\ge \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}[/tex] повдигаме на квадрат:
[tex]\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{b^2}+2(\frac{b}{c}+\frac{a}{b}+\frac{c}{a})\ge 3(a^2+b^2+c^2)[/tex] сега разширяваме 2(...) с 3 абс и получаваме:
[tex]\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{b^2}+2(ab^2+bc^2+ca^2)\ge 3(a^2+b^2+c^2)[/tex] и последно имаме

[tex]\frac{a^2}{c^2}+ca^2+ca^2\ge 3a^2\\\frac{b^2}{a^2}+ab^2+ab^2\ge 3b^2\\\frac{c^2}{b^2}+bc^2+bc^2\ge 3c^2[/tex]
След събиране на горните три получаваме търсеното Razz
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Sat Apr 18, 2009 12:55 pm    Заглавие:

gbs написа:
Първо ще докажем неравенството: [tex]3\ge \sqrt{3(a^2+b^2 + c^2)}[/tex]
[/tex]
Ако ставаше толкова лесно... [tex]a=3,b=2,c=\frac{1}{6}[/tex]. Да не говорим, че [tex]a^2+b^2+c^2\ge 3[/tex] от СА-СГ.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dim
Напреднал


Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324

Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7
гласове: 21

МнениеПуснато на: Sat Apr 18, 2009 1:12 pm    Заглавие:

Повдигам лявата част на квадрат:

[tex](a^2b+b^2c+c^2a)^2=a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2+2(ab^2+bc^2+ca^2)=[/tex]
[tex](a^4b^2+ca^2+ca^2)+(b^4c^2+ab^2+ab^2)+(c^4a^2+bc^2+bc^2)\ge 3\sqrt[3]{a^8b^2c^2}+3\sqrt[3]{a^2b^8c^2}+3\sqrt[3]{a^2b^2c^8}=3(a^2+b^2+c^2)[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
gsinekliev
Начинаещ


Регистриран на: 03 Jun 2006
Мнения: 62
Местожителство: Пазарджик
Репутация: 27.8Репутация: 27.8Репутация: 27.8
гласове: 5

МнениеПуснато на: Sat Apr 18, 2009 1:24 pm    Заглавие:

[/quote] Да не говорим, че [tex]a^2+b^2+c^2\ge 3[/tex] от СА-СГ.[/quote]
[tex]\frac{a^2 + b^2 + c^2}{3} \ge \sqrt[3]{a^2.b^2.c^2} = \sqrt[3]{(abc)^2} = \sqrt[3]{1^2} = 1[/tex]
Използвах също и че a.b.c =1

ПП Другото е грешно.Извинявам се.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sat Apr 18, 2009 1:35 pm    Заглавие:

gbs написа:
Повдигаме това на квадрат и получаваме:
[tex]a^2+b^2+c^2 +2ac+2bc+2ab\ge 9[/tex]
[tex]a^2+b^2+c^2\le 9-2(ac+bc+ab)[/tex]

Тая магия как стана Laughing

П.П. да, май точно това ви е грешно Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sat Apr 18, 2009 1:38 pm    Заглавие:

Като че ли на dim е най-кратко Smile Той използва същата стратегия като моята, само дето не прави тези тъпи преобразувания, браво Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Sun Apr 19, 2009 3:51 pm    Заглавие:

Може и с полагане a = x/y, b = y/z, c = z/x.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Sun Apr 19, 2009 3:57 pm    Заглавие:

Николай.Каракехайов написа:
Може и с полагане a = x/y, b = y/z, c = z/x.
Я покажи, защото като го пробвах нещо не ми се получи Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Sun Apr 19, 2009 4:03 pm    Заглавие:

След като си положиш и опростиш, става

[tex]x^6 + y^6 + z^6 + 2(x^3y^3 + y^3z^3 + z^3x^3) \ge 3(x^2y^4 + y^2z^4 + z^2x^4)[/tex].
Сега

[tex]y^6 + x^3y^3 + x^3y^3 \ge 3(x^6y^{12})^{\frac{1}{3}} = 3x^2y^4[/tex] и т.н.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.