Успоредник

[NoThanks]

Даден е успоредник ABCD и 2 взаимноперпендикулярни прави, които разделят успоредника на 4 равнолицеви части. Да се докаже, че точките, в които тези прави пресичат страните на успоредника са върхове на ромб.

[Реклама]

[_sssss]

[tex]\normal S_{AIHD}=S_{BIHC}[/tex]

[tex]\normal \frac{(DH+AI)h}{2}=\frac{(BI+CH)h}{2} \\ (1) DH-CH=BI-AI[/tex]


[tex]\normal S_{BAGJ}=S_{DCJG}[/tex]

[tex]\normal \frac{(GA+BJ)h_{1}}{2}=\frac{(DG+JC)h_{1}}{2} \\ (2) GA-DG=JC-BJ[/tex]


[tex]\normal (3) DH+CH=AI+BI \\ (4) GA+DG=JC+BJ[/tex]


[tex]\normal (1), (3) \Rightarrow DH=BI; \; AI=CH; \; \; \; \; \; \; (2), (4) \Rightarrow JC=GA; \; BG=GD;[/tex]

[tex]\normal \Delta CHJ = \Delta AIG \;(II) \; \Rightarrow HJ=GI;[/tex]
[tex]\normal \Delta GHD = \Delta JIB \;(II) \; \Rightarrow GH=IJ;[/tex]

[tex]\normal HJ=GI; GH=IJ \Rightarrow IJHG[/tex] е успоредник;

Усп. с прав ъгъл м/у диагоналите е ромб.