Две симпатични задачки

[sunshine]

Здравейте, много ще съм ви благодарна, ако ми помогнете за тези 2 задачки :
зад.1. Върху страните AB, BC, CD и AD на равнобедрения трапец ABCD (AD=BC) са взети съответно точките M, N, P, Q така, че четириъгълникът MNPQ е квадрат. Да се докаже, че:
а) AQ=CN
б) Пресечната точка на диагоналите на MNPQ лежи в/у средната отсечка на трапеца;
в) Ако S₁ и S₂ са съответно лицата на трапеца и квадрата, а алфа е ъгълът AMQ, to S₁ =(1+sin2алфа)S₂

зад.2. Дадена е правилната триъгълна призма ABCA₁B₁C₁ , на която всички ръбове са равни. Върху околния ръб BB₁ е взета т.М така, че BM/BB₁ =a (0≤a≤1). През A,M и C₁ е прекарана равнина, която дели призмата на многостените с върхове AMA₁B₁C₁ и ABCMC₁ , които имат обеми съответно V₁ и V₂ .
а)Има ли стойност на a, за която е изпълнено равенството V₁ = V₂ ?
б) Изразете V₁ / V₂ като функция на a и намерете най-голямата и най-малката стойност на тази функция.
в) Нека фи е двустенният ъгъл м/у равнините AMC₁ и ABC. Изразете tgфи посредством a и докажете, че фи≥∏/4

[Реклама]

[sunshine]

Знам, че са малко труднички, но .. приемете го като предизвикателство Не може само лесни

[martosss]

1 а)
начертай си Т върху лъча ДС, така че ъгъл CNT=ъгъл АМQ
сега
▲АМQ≈▲NPT => PN/AM=NT/AQ=> TN=PN*AQ/AM
▲CNT≈▲AMQ => TN/QM=CN/AM => TN=CN*QM/AM
Освен това по условие MNPQ - квадрат => PN=MQ

От тези трите следва, че AQ=TN*AM/PN=QM

б) По дефиниция средата на всяка отсечка с краища основите на трапец лежи върху средната отсечка. В случая средата на РМ ще лежи върху средната отсечка, но точно тази среда е и пресечна точка на диагоналите => пресечната точка на диагоналите лежи върху средната отсечка.

за в) трябва да докажеш, че сбора от лицата на малките триъгълничета е MN²sin(2α), аз за сега го докарах MN*ADsinasinb/2, където b е ъгълът при основата, ама не знам по-нататък какво ще правя... утре ще го помисля на свеж мозък

[martosss]

За втората задача може V1=V2 ако тази точка е среда на ВВ1
За целта раздели всеки от образувалите се многостени на 1 триъгълна пирамида с основа равностранен триъгълник, чийто връх се проектира във връх от основата(в случая стават A1B1C1A с връх А и ABCC1 с връх С1. Тези пирамиди не зависят от избора на точка М и техния обем е винаги 1/3 от обема на призмата. Останалата част от пирамидата може да се разгледа като пирамида ВС1В1А с основа ВВ1С1 и връх А. Сега търсим такъв избор на точка М върху ВВ1, така че да разделим триъгълник ВВ1С1 на два равнолицеви триъгълника. Ясно е, че когато М е среда на ВВ1 това се постига, откъдето и обемите стават равни

За изразяването като функция на а...
Означаваш ръбовете AB=BC=...=a.
[tex]V_{ABCC_1}=\frac{S_{ABC}*CC_1}{3}=\frac{a^2\sqrt 3}{12}*a=\frac{a^3\sqrt 3}{12}=\frac{1}{3}V_{ABCA_1B_1C_1}[/tex]
[tex]V_{A_1B_1C_1A}=\frac{S_{A_1B_1C_1}*A_1A}{3}=\frac{a^2\sqrt 3}{12}*a=\frac{a^3\sqrt 3}{12}=\frac{1}{3}V_{ABCA_1B_1C_1}[/tex]
Оттук двата обема са равни на 1/3 от обема на призмата
Сега остава да изразим чрез а останалата част от призмата, чийто обем зависи от т.М:
Но височината от А към равнината [tex]BCC_1B_1[/tex] е всъщност [tex]\frac{a\sqrt 3}{2}[/tex] и тогава
[tex]V_{MB_1C_1A}=\frac{S_{MC_1B_1}*h_A}{3}=\frac{a*B_1M}{6}*a\frac{\sqrt 3}{2}=\frac{a^2B_1M\sqrt 3}{12}[/tex]
Аналогично [tex]V_{BMC_1A}=\frac{S_{BMC_1}*h_A}{3}=\frac{a^2BM\sqrt 3}{12}[/tex]

Сега остана да образуваш търсеното отношение и по някакъв начин да изразиш [tex]B_1M[/tex] и [tex]BM[/tex] чрез даденото отношение, ето как:
[tex]BM/BB_1=t\Right \fbox{BM=t*BB_1=ta, B_1M=a(1-t)}[/tex]
[tex]\frac{V_1}{V_2}=\frac{V_{A_1B_1C_1AM}}{V_{ABCC_1M}}=\frac{V_{A_1B_1C_1A}+V_{MB_1C_1A}}{V_{ABCC_1}+V_{BMC_1A}}=\frac{\frac{a^3\sqrt 3}{12}+\frac{a^3(1-t)\sqrt 3}{12}}{\frac{a^3\sqrt 3}{12}+\frac{a^3t\sqrt 3}{12}}=\frac{1+1-t}{1+t}=\frac{2-t}{t+1}[/tex]

Сега [tex]\frac{2-t}{t+1}=\frac{3}{t+1}-1[/tex] и тъй като [tex]t\in[0\: ;\: 1][/tex] когато t расте дробта намалява, когато t намалява дробта расте, тоест НМС и НГС се достигат в двата края на интервала, тоест при [tex]\begin{tabular}{|1}t=1\Right \frac{V_1}{V_2}=\frac{1}{2}\\ t=0\Right \frac{V_1}{V_2}=2\end{tabular}[/tex]

[sunshine]

Ейй, мерси много много за помощта : ) ще те черпя

[martosss]

на втората задача имах лека грешка, бях написал [tex]B_1M=t-1[/tex] вместо [tex]B_1M=1-t[/tex] и бях объркал крайния отговор, сега вече всичко би трябвало да е наред , но все пак в) е за теб.