Само подобни

[Pinetop Smith]

Две окръжности се пресичат в т. А и В. Права l, минаваща през т. А пресича отново окръжностите в точки С и D съответно. Нека M и N са средите на дъгите ВС и BD, които не се съдържат точка А и К е средата на CD. Да се докаже, че <MKN = 90.

[Реклама]

[pmgvr]

Нека О е центърът на окръжността с тМ, а О1 - на тази с точка N.
Нека [tex]\angle CBD>90^\circ ; OM\cap BC=P=>MO\bot BC[/tex] и Р е среда на ВС.
[tex] O_{1}N\cap BD=Q=>NO_{1}\bot BD[/tex] и Q е среда на BD=>KP и KQ са средни отсечки в BCD => KP=1/2BD=BQ; KQ=1/2BC=BP=>KPBC е успоредник=>
1) [tex]\angle KPB=\angle KQB=>\angle KPM=90^\circ +\angle KPB=90^\circ +\angle KBQ=\angle KQN
2) \angle PBQ=\angle PKQ
\angle BAC=\frac{1}{2 }BC=BM=\angle BOM; OM=OB=>\angle BMO=\frac{180^\circ -\angle MOB}{ 2}
OT \Delta MOB=>\angle BMO=\frac{180^\circ -\angle BAC}{ 2} =\frac{\angle BAD}{ 2}
\angle BAD=\frac{1}{2 }BD=BN=DN=\angle NBD=\angle NBQ
=>\angle BMO=\angle NBQ[/tex]
За триъгълниците MPB и NBQ: 1)[tex]\angle MPB=90^\circ =\angle NBQ
2)\angle BMP=\angle NBQ=>\Delta MPB~\Delta KQN=>\angle PKN=\angle QNK=>\angle MKN=\angle PKQ-\angle PKM-\angle QKN=\angle PBQ-(\angle PKN+\angle QKN)=\angle PBQ-(180^\circ -90^\circ -\angle KPB)=\angle PBQ+\angle KPB-90^\circ =180^\circ -90^\circ =90^\circ[/tex]
За ъгъл CBD по-голям или равен на 90 градуса, т.P и Q са съответно вътрешни за MKN или са в/у страните му и се доказва аналогично.

[estoyanovvd]

[estoyanovvd]

Нека L е симетрична на N относно К. Доказвате, че [tex]\Delta NMB[/tex] е еднакъв на [tex]\Delta LMC [/tex].
От това следва, че [tex]\Delta NLM [/tex] е равнобедрен и медианата към основата му се
явява и височина.

[pmgvr]

Да, благодаря Ви много за поправката, estoyanovvd