Точен квадрат ако...

[Saposto_MM]

Нека [tex]a,b,c\in\mathbb{N}[/tex], [tex]a-b\in\mathbb{P}[/tex] и [tex]3c^{2}=ab+bc+ca[/tex]. Да се докаже, че [tex]8c+1[/tex] е точен квадрат.

[Реклама]

[r2d2]

Как се разбира [tex]a-b \in P[/tex]?!

[martosss]

сигурно че разликата е просто число... prime...

[Пафнутий]

[tex]\mathbb{P}[/tex] е множеството на простите числа

[RIK]

Нека означим [tex]a+b=x[/tex] и [tex]a-b=p[/tex], [tex]p[/tex]-просто. Оттук [tex]ab=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4 } \Right ab=\frac{x^2-p^2}{4 }. [/tex] Тогава [tex]3c^2=c(a+b)+cb \Right 3c^2-cx-\frac{x^2-p^2}{4 }=0 [/tex] Така [tex] p^2=x^2+4cx-12c^2. [/tex] Последното се разлага до [tex]p^2=(x-2c)(x+6c).[/tex] Тъй като [tex]p[/tex] e просто и [tex]c\ne 0 \Right x-2c=1[/tex] и [tex]x+6c=p^2.[/tex] Замествайки [tex]x[/tex] във второто уравнение получаваме, че [tex]1+8c=p^2.[/tex]
Подобна задача е Задача 3 от темата за девети клас на областния кръг на олимпиадата през 2006.

[Saposto_MM]

Точно така!
А това е задачата от областния кръг:
Ако [tex]l,m,n\in\mathbb{N}[/tex], [tex]m-n\in\mathbb{P}[/tex] и [tex]8\left(l^{2}-mn\right)=2\left(m^{2}+n^{2}\right)+5\left(m+n\right)l[/tex], то да се докаже, че [tex]11l+3[/tex] е точен квадрат.