Ъгъл

[inimitably]

Даден е [tex]\Delta ABC[/tex].[tex]I[/tex] e център на вписаната в триъгълника окръжност,която се допира до [tex]AC[/tex] и [tex]BC[/tex] съответно в [tex]X[/tex] и [tex]Y[/tex].Нека [tex]BI[/tex] пресича описаната около [tex]\Delta ABC[/tex] окръжност в точка [tex]K[/tex].Ако [tex]XY[/tex] разполовява [tex]CK[/tex] , то намерете мярката на [tex]\angle ACB[/tex]. (задачата е от руска олимпиада за 9 клас)

[Реклама]

[ганка симеонова]

Не си ли объркал някоя буквичка?

[inimitably]

На чертежа [tex]X[/tex] и [tex]Y[/tex] са допирните точки на вписаната окръжност с център [tex]I[/tex] , [tex]O[/tex] е център на описаната окръжност
и [tex]M[/tex] е среда на [tex]CK[/tex].Намерете мярката на [tex]\angle ACB[/tex].
Надявам се , че вече всичко е ясно

[ганка симеонова]

[tex]\Delta XCY[/tex]- равнобедрен, СР-ъглополовяща=>[tex]\angle XPC=90^\circ [/tex]
[tex]\Delta IKC[/tex]- равнобедрен[tex](IK=CK)[/tex]. Нека KL- височина=>MP-средна отсечка в [tex]\Delta KLC=>CP=x=>LP=x=>LI=2x=>CP:PI=1:3 [/tex]
Разгл. [tex]\Delta IXC[/tex]- правоъгълен=>[tex]XP^2=IP.CP=3x^2=>XP=\sqrt{3} [/tex]
От [tex]\Delta CPX [/tex]- правоъгълен=> [tex]tg\angle XCP=\frac{XP}{ CP} =\sqrt{3} =>\angle XCP=60^\circ =>\angle ACB=120^\circ [/tex]

[mousehack]

А няма ли някое осмокласно решение,смисъл без tg.

[ганка симеонова]

[inimitably]

Оказа се , че съм допуснал грешка. Задачата всъщност е за 9 клас , sorry.

http://olympiads.mccme.ru/vmo/34/2.pdf

[inimitably]

Нека [tex]KL[/tex] пресича [tex]AC[/tex] в точка [tex]N[/tex].
Тъй като [tex]KL[/tex] е симетрала на [tex]IC[/tex] ,то [tex]IN=CN[/tex] , но [tex]X[/tex]
е среда на [tex]CN[/tex] [tex]\rightarrow \Delta CNI[/tex] е равностранен.

[ганка симеонова]