Комутативен пръстен

[Airqn4o]

Здравейте,можете ли да ми помогнете със следната задача:
Нека R e комутативен пристен и
A:=
(0 0 a) принадлежи на R^3x3
1 0 b
0 1 c
Покажете,че има полином f принадлежащ на R[x] от трета степен,за който важи f(A)=0

[Реклама]

[nikko1]

По теоремата на Хамилтон-Кейли, всяка матрица е решение на характеристичния си полином. Той в случая е [tex]\det(A-\lambda.E)=\begin{array}{|ccc|}-\lambda&0&a\\1&-\lambda&b\\0&1&c-\lambda\end{array}=-\lambda^3+c\lambda^2+b\lambda+a.[/tex] Така намираме полинома от трета степен [tex]f(x)=-x^3+cx^2+bx+a\in R[x][/tex],за който [tex]f(A)=0.[/tex]