Уравнение в цели числа

[v1rusman]

зад. Решете в цели числа уравнението : [tex]x^5-y^5=1993[/tex]. (Всерусийска олимпиада, 1993г.)

[Реклама]

[Пафнутий]

Очевидно [tex]x>y[/tex]. Полагаме [tex]x-y=a,xy=b[/tex]. тогава уравнението е еквивалентно на:
[tex]a(a^4+5b(a^2+b))=1993(*)[/tex] ,т.е [tex]a|1993 \Rightarrow a=1[/tex] или [tex]a=1993[/tex], но от малката теорема на Ферма имаме [tex]x^5-y^5\equiv x-y\equiv 3(mod 5)[/tex], откъдето заключаваме, че [tex]a=1993[/tex].Тогава [tex](*)[/tex] добива вида:
[tex]a^4+5b(a^2+b)=1\Leftrightarrow 5b^2+5a^2b+a^4-1=0[/tex] и го решавaме като квадратно относно [tex]b[/tex]. Дискриминантата е равна на [tex]5(4-3a^4)[/tex] и понеже трябва да е точен квадрат, то [tex]5|4-3a^4[/tex] -невъзможно, т.е уравнението няма цели корени.

[nikko1]

[dim]

Ето и моето решение:

[tex]x^5-y^5=(x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4)=(x-y)((x^2+y^2)^2-x^2y^2+xy(x^2+y^2))=1993[/tex].Нека[tex]x-y=p[/tex], [tex]x^2+y^2=a,xy=b[/tex].У-то приема вида [tex]p(a^2-b^2+ab)=1[/tex]. Понеже [tex]1993[/tex] е просто, вторият множител вляво е [tex]1[/tex] или [tex]1993[/tex] - [tex](a^2-b^2+ab)=1,1993(*)[/tex], [tex]a=x^2+y^2=(x-y)^2+2xy=p^2+2b[/tex] и като заместим в [tex](*)[/tex] получаваме [tex]5b^2+5p^2b+p^4=1,1993[/tex]. В единият случай [tex]D=25p^4+20[/tex], за [tex]p=1993[/tex] [tex]D=25p^4+20.1993[/tex] за [tex]p=1[/tex]. И в двата случая дискриминантата не е цяло => у-то няма решение за [tex]x,y\in Z[/tex].

Ако е верно горното, това би ни помогнало да направим оценка в общият случай [tex]x^5-y^5=p[/tex], [tex]p[/tex]-просто. За да има цели корени у-то трябва [tex]D=25p^4+20[/tex] и/или [tex]D=25+20p[/tex] да са точни квадрати и [tex]5|\sqrt{D} [/tex] (защото [tex]b_{1,2}=\frac{-5p^4+\sqrt{D}}{10}[/tex]). Във вторият случай имаме [tex]D=5(4p+5)[/tex]-точен квадрат => [tex]5|4p+5[/tex], [tex]5|p[/tex]-не става. Значи остава само [tex]D=25p^4+20[/tex]- точен квадрат и [tex]5|\sqrt{D} [/tex], но и тук трябва [tex]5|5p^4+4[/tex]-невъзможно => у-то н. р. в цели числа за прости [tex]p[/tex]?!?

[Пафнутий]

[mkmarinov]

[tex]D=(5a^2)^2-4.5.(a^4-1)=25a^4-20a^4+20=5a^4+20=5(a^4+4)[/tex]

[Пафнутий]

Разбрах, че не мога да смятам Ето и последното ми решение. Дискриминантата е равна на [tex]D=5(a^4+4)[/tex] и тя трябва да е точен квадрат, но [tex]a^4\equiv 1993^4 \equiv -1(mod 13)[/tex], откъдето [tex]D\equiv 2(mod 13)[/tex], но [tex]2[/tex] не е квадратичен остатък по [tex]mod 13[/tex], т.е [tex]D[/tex] не е точен квадрат.Това решение устройва ли ви?

[dim]

[Пафнутий]

Казах, че случая [tex]x-y=1[/tex] може да не се разглежда в самата задача, а не за обобщението. Всъщност той е ненужен за всяко просто [tex]p\ne 1(mod 5)[/tex].