Задача от логаритми

[dooom]

Задача от логаритми

[Реклама]

[Arven]

Изпрати ми e-mail адрес, за да я сканирам и изпратя, тъй като и аз трудно се оправям с този LaTex

[Spider Iovkov]

[tex]\sqrt{\log_{x}\sqrt{5x}}=-\log_{x}5 \Rightarrow {\cyr DO}: \begin{array}{||}x>0\\x\neq 1\\-\log_{x}5\ge 0\end{array}[/tex]
Използвайки свойствата на логаритмите, преобразуваме уравнението:
[tex]\sqrt{\frac{1}{2}\log_{x}(5x)}=-\log_{x}5 \Leftrightarrow \sqrt{\frac{1}{2}(\log_{x}5+\log_{x}x)}=-\log_{x}5 \Leftrightarrow \sqrt{\frac{1}{2}(\log_{x}5+1)}=-\log_{x}5[/tex].
Сега, въвеждайки новото неизвестно [tex]\log_{x}5=u[/tex] (за което от [tex]\cyr DO[/tex] следва [tex]u\le 0[/tex]), достигаме до
[tex]\sqrt{\frac{1}{2}(u+1)}=-u \Rightarrow \frac{1}{2}(u+1)=u^2 \Leftrightarrow u+1=2u^2 \Leftrightarrow 2u^2-u-1=0 \Leftrightarrow u=1, u=-\frac{1}{2}[/tex].
От последното, като се върнем в субституцията, намираме
[tex]\log_{x}5=-\frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x}}=5 \Rightarrow \frac{1}{x}=25 \Leftrightarrow x=\frac{1}{25}[/tex]. От определената [tex]\cyr DO[/tex] виждаме, че това е решение.