Геометрия - намерете лицето на изпъкнал петоъгълник

[v1rusman]

Намерете лицето на изпъкнал петоъгълник [tex]ABCDE[/tex], за който [tex]AB=BC, CD=DE, \angle ABC=150^\circ , \angle CDE=30^\circ, BD=2[/tex]. (I.Voronovich)

[Реклама]

[RIK]

За краткост въвеждаме следните означения: [tex]AB=BC=x, CD=DE=y[/tex] и [tex]\angle ACE=\alpha [/tex]. Тогава прилагайки косинусова теорема за [tex]\Delta ABC[/tex] получаваме, че [tex]AC^2=2x^2+2x^2.\frac{\sqrt{3} }{ 2} [/tex] и така [tex]AC=x\sqrt{2+\sqrt{3}}[/tex]. Аналогично от косинусова теорема за [tex]\Delta ECD[/tex] получаваме, че [tex]EC^2=2y^2-2y^2.\frac{\sqrt{3} }{ 2} [/tex], т.е. [tex]EC=y\sqrt{2-\sqrt{3} }[/tex]. Така [tex]S_{ACE}=\frac{1}{ 2} xy.\sqrt{2-\sqrt{3} }.\sqrt{2+\sqrt{3}}.sin\alpha =\frac{1}{ 2}xy.sin\alpha [/tex]. Също така [tex]S_{ABC}=\frac{ x^2.sin150^\circ }{2 }=\frac{x^2}{4 } [/tex] и [tex]S_{CED}=\frac{y^2.sin30^\circ}{2 } =\frac{y^2}{4 } [/tex]. Оттук лицето на целия петоъгълник е равно на сбора [tex]\frac{xy.sin\alpha}{ 2}+\frac{x^2}{4 }+\frac{y^2}{4 }[/tex]. Но от косинусова теорема за [tex]\Delta BCD[/tex] имаме, че [tex]BD^2=x^2+y^2-2xy.cos(90^\circ +\alpha )[/tex] и така [tex]4=x^2+y^2+2xy.sin\alpha [/tex], защото [tex]cos(90^\circ +\alpha )=-sin\alpha[/tex]. Така [tex]S_{ABCDE}=\frac{x^2+y^2+2xy.sin\alpha }{ 4}=\frac{4}{ 4}=1 [/tex], което е окончателният отговор.

[martosss]