Две модулни уравнения

[nemala4]

lx²-x+1l=x²+x+1

lx²+2lxl+3l+lx²-4l=11

[Реклама]

[Spider Iovkov]

[tex]|x^2-x+1|=x^2+x+1 \Rightarrow (x^2-x+1)^2=(x^2+x+1)^2 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x^2-x+1)^2-(x^2+x+1)^2=0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x^2-x+1+x^2+x+1)(x^2-x+1-x^2-x-1)=0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x(x^2+1)=0 \Leftrightarrow x=0[/tex]

[mkmarinov]

[tex]|x^2+2|x|+3|+|x^2-4|=11[/tex]
Тъй като x участва само по своя модул, то ако [tex]x_0[/tex] е решение, и [tex]-x_0[/tex] е решение. (т.е. има нужда да проверим само половината числа ).
Т.к. [tex]x^2+2x+3 \ge 0[/tex]
[tex]x^2+2|x|-8=-|(x+2)(x-2)|[/tex]
[tex](|x|+4)(|x|-2)=-|(x+2)(x-2)|[/tex]

[tex]x \in (-\infty;-2][/tex]
[tex](-x+4)(-x-2)=-(x+2)(x-2)[/tex]
[tex](x-4)(x+2)=-(x+2)(x-2) / : (x+2) ; x_1 = -2 [/tex]
[tex]x-4=2-x[/tex]
[tex]x=3[/tex], но не принадлежи на разглеждания интервал.

[tex]x \in (-2;0][/tex]
[tex](x+4)(x+2)=(x+2)(x-2) /: (x+2)[/tex]
[tex]x+4=x-2 <=> 6=0[/tex] - противоречие.

Разгледахме всички отрицателни числа и в тях получихме само един корен - [tex]x=-2[/tex]. От симетрията, изказана горе, имаме още един корен - неговото противоположно число.
Окончателно:
[tex]x=\pm 2[/tex]